ESTUDO DO MODELO

 

No que se segue a letra t designa o tempo (variável real não negativa), x(t) o número de presas no instante t e y(t) o número de predadores no instante t. Naturalmente deveríamos considerar apenas valores inteiros de x(t) e y(t); mas o estudo do modelo de Volterra exige que permitamos que x(t) e y(t) variem nos reais não negativos e definam funções deriváveis.

As variações ao longo do tempo das funções x e y têm a sua tradução analítica nas derivadas x' e y' e, portanto, as considerações que fizemos atrás formalizam-se no seguinte sistema de equações diferenciais
x' = Ax – Bxy 
y' = –Cy + Dxy
onde A, B, C e D são constantes positivas. Resolver o sistema é determinar a função t(x(t), y(t)) que verifica as duas equações.


Este sistema não linear é solúvel: pelo Teorema da Existência e Unicidade (detalhes em [4]), para cada condição inicial x(t0), y(t0) existe uma curva t(x(t), y(t)) que verifica as duas equações do sistema. Contudo a demonstração deste teorema não é construtiva e, em particular, não sabemos determinar explicitamente esta curva-solução. Resta-nos, então, fazer uma análise qualitativa, com pistas que nos são sugeridas por integração numérica.

Relembremos que o objectivo é determinar o número médio de fanecas e de tubarões; veremos que, independentemente das soluções,

número médio de fanecas = C/D
número médio de tubarões = A/B
(Clique na figura para variar A, B, C e D .)

Se seguir a sequência dos items abaixo ficará a conhecer uma justificação destas igualdades.