ESTUDO DO MODELO

(estabilidade dos pontos de equilíbrio)

A importância dos pontos de equilíbrio está na sua influência nas curvas vizinhas, isto é, no tipo de estabilidade que exibem: para condições iniciais próximas do ponto de equilíbrio, será que as curvas-solução permanecem globalmente próximas do ponto de equilíbrio? Esta informação pode ser obtida a partir dos valores próprios da matriz das derivadas parciais da função (x,y)(Ax – Bxy,–Cy + Dxy) no ponto:

Os valores próprios da matriz diagonalizada
 são A e –C. Como A>0, sabemos que (0,0) é instável, o que significa que
existem condições iniciais próximas de (0,0) cujas curvas-solução se afastam de (0,0). Como –C<0, existem condições iniciais próximas de (0,0) cujas curvas-solução se aproximam assimptoticamente deste ponto de equilíbrio – o que o caracteriza como um ponto de tipo sela.
Os valores próprios de
anulam o determinante da matriz M(C/D,A/B) – Identidade, ou seja, os zeros da
equação polinomial
, ou seja,
, isto é, 2 = –AC, que tem soluções complexas  = ± i .
Como ambos têm a parte real nula, os resultados não nos permitem concluir nada relativamente às soluções de condições iniciais próximas de (C/D,A/B).

 

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