Áreas

\(\DeclareMathOperator{\sen}{sen}\)

Dado um paralelogramo inicial cujos lados medem \(a\) e \(b\) e formam um ângulo de amplitude \(\alpha \in ]0,\pi[\), a medida da sua área é \(ab \sen \alpha \). Relativamente à área do paralelogramo de Morley, o seu valor não fica determinado pelo valor da área do paralelogramo inicial, à semelhança do que acontece com a área do triângulo de Morley. No entanto, o seu valor é também função das medidas \(a\), \(b\) e \( \alpha \). De facto, demonstra-se que o seu valor é dado por: \[\begin{array}{lll} A & = & \left|\frac{2}{3}ab\sen\alpha-\frac{2}{\sqrt{3}}\left(a^{2}+b^{2}\right)\sen\frac{\alpha}{3}\sen\frac{\pi-\alpha}{3}\right|\\ & = & \frac{2}{\sqrt{3}}\sen\frac{\alpha}{3}\sen\frac{\pi-\alpha}{3}\left|\frac{4}{\sqrt{3}}ab\sen\frac{\alpha+\pi}{3}-\left(a^{2}+b^{2}\right)\right| \end{array}\]

Note-se que podemos ter \(A=0\), o que neste caso significa que os pontos de intersecção das trissectrizes são colineares, não sendo vértices de nenhum paralelogramo. Vejamos quando tal acontece: \[\begin{array}{lll} A=0 & \Leftrightarrow & \sen\frac{\alpha}{3}=0\lor\sen\frac{\pi-\alpha}{3}=0\lor\left|\frac{4}{\sqrt{3}}ab\sen\frac{\alpha+\pi}{3}-\left(a^{2}+b^{2}\right)\right|=0\\ & \Leftrightarrow & a^{2}+b^{2}=\frac{4}{\sqrt{3}}ab\sen\frac{\alpha+\pi}{3} \end{array}\]

Tomando \(t=\frac{2}{\sqrt{3}} \sen \frac{\alpha + \pi}{3}\), vem: \[\begin{array}{lll} A=0 & \Leftrightarrow & \left(\frac{b}{a}\right)^{2}-2t\left(\frac{b}{a}\right)+1=0\\ & \Leftrightarrow & \frac{b}{a}=t\pm\sqrt{t^{2}-1}\\ & \Leftrightarrow & b=b_{1}=a\left(t-\sqrt{t^{2}-1}\right)\lor b=b_{2}=a\left(t+\sqrt{t^{2}-1}\right) \end{array}\]

Em termos relativos, a razão entre os valores das áreas é: \[\begin{array}{lll} r & = & \frac{\left|\frac{2}{3}ab\sen\alpha-\frac{2}{\sqrt{3}}\left(a^{2}+b^{2}\right)\sen\frac{\alpha}{3}\sen\frac{\pi-\alpha}{3}\right|}{ab\sen\alpha}\\ & = & \left|\frac{2}{3}-\frac{2\left(a^{2}+b^{2}\right)\sen\frac{\alpha}{3}\sen\frac{\pi-\alpha}{3}}{\sqrt{3}ab\sen\alpha}\right|\\ & = & \left|\frac{2}{3}-\frac{2\left(a^{2}+b^{2}\right)\sen\frac{\alpha}{3}\sen\frac{\pi-\alpha}{3}}{4\sqrt{3}ab\sen\frac{\alpha}{3}\sen\frac{\alpha+\pi}{3}\sen\frac{\alpha+2\pi}{3}}\right|\\ & = & \left|\frac{2}{3}-\frac{a^{2}+b^{2}}{2\sqrt{3}ab\sen\frac{\alpha+\pi}{3}}\right| \end{array}\]

Fixemos agora o comprimento \(a\) e a amplitude \(\alpha\). Ao contrário do que acontecia com os triângulos, a razão entre as áreas, \(r\), não tem máximo absoluto (a análise da fórmula dada permite concluir que, quando \(b\) tende para infinito, o mesmo acontece com \(r\)). No entanto, existe um máximo local quando \(b=a\), ou seja, quando o paralelogramo inicial é um losango. Note-se que este máximo local é a média geométrica entre os valores \(b_{1}\) e \(b_{2}\), dado que \[\begin{array}{lll} \sqrt{b_{1}b_{2}} & = & \sqrt{a^{2}\left(t-\sqrt{t^{2}-1}\right)\left(t+\sqrt{t^{2}-1}\right)}\\ & = & a\sqrt{t^{2}-\left(t^{2}-1\right)}\\ & = & a \end{array}\]

De facto, também existe um máximo local para o valor absoluto da área do paralelogramo obtido pela intersecção das trissectrizes adjacentes, \(A\), que é atingido quando \(b=at\), sendo este valor a média aritmética entre \(b_{1}\) e \(b_{2}\), dado que \[\begin{array}{lll} \frac{b_{1}+b_{2}}{2} & = & \frac{a\left(t-\sqrt{t^{2}-1}\right)+a\left(t+\sqrt{t^{2}-1}\right)}{2}\\ & = & \frac{2at}{2}\\ & = & at \end{array}\]

Uma vez que a média geométrica entre dois números positivos é sempre menor do que a sua média aritmética e ambas estão compreendidas entre esses dois valores iniciais, temos então a seguinte desigualdade:\[b_{1}<a<at<b_{2}\]

Portanto, o máximo local de \(r\) é atingido antes do máximo local de \(A\) e ambos ocorrem entre os dois valores para os quais a área é nula. Confirme que tal acontece com o seguinte applet interactivo:

Clique nos pontos vermelhos para alterar a forma do paralelogramo inicial e nos rectângulos brancos para obter a respectiva situação