Paralelogramos

Se, em vez de considerar as intersecções das trissectrizes adjacentes de um triângulo, considerarmos agora os quatro pontos de intersecção das trissectrizes adjacentes de um paralelogramo, o que é que obteremos? As figuras abaixo mostram várias situações possíveis, estando o paralelogramo inicial representado a cinzento e o polígono que se obtém unindo consecutivamente os pontos de intersecção das trissectrizes (quando estes pontos não são colineares) representado a verde.

A análise das figuras sugere que, independentemente do paralelogramo inicial, o polígono obtido é sempre outro paralelogramo (excepto quando os pontos são colineares). Experimente esta propriedade usando o seguinte applet interactivo:

(Clique nos pontos \(A\), \(B\) e \(D\) para mudar a forma do paralelogramo \([ABCD]\))

Em particular, quando o paralelogramo inicial é um rectângulo, o polígono obtido parece ser um losango e, inversamente, quando o paralelogramo inicial é um losango, o polígono obtido parece ser um rectângulo. Na verdade, todas estas conjecturas são verdadeiras. À semelhança do que acontece com os triângulos, o paralelogramo obtido pela intersecção das trissectrizes adjacentes relativas a dois vértices consecutivos de um paralelogramo inicial será aqui designado por paralelogramo de Morley.

Claro que, partindo de um quadrado, obtemos sempre um quadrado mais pequeno (um quadrado é simultaneamente um rectângulo, porque todos os seus ângulos são rectos, e um losango, porque todos os seus lados são iguais). Mais geralmente, se partirmos de um polígono regular qualquer, obteremos sempre outro polígono regular com o mesmo número de lados, apenas mais pequeno (porque será?). Pode observar esta propriedade usando o seguinte applet:

(Desloque o ponto azul para mudar o número de vértices e os pontos vermelhos para mudar o tamanho e a posição do polígono)

Note-se que outras escolhas para pontos de intersecção das trissectrizes também produzem resultados interessantes. Por exemplo, ainda em relação ao paralelogramo, em vez de escolher os pontos de intersecção das trissectrizes adjacentes relativas a dois vértices consecutivos, poderíamos ter escolhido os pontos de intersecção das outras duas trissectrizes relativas a vértices consecutivos. Também neste caso podemos concluir que estes pontos ou são colineares ou são os vértices de um outro paralelogramo, e que este também é um losango no caso do paralelogramo inicial ser um rectângulo e vice-versa. No applet abaixo, o paralelogramo inicial está representado a cinzento e os paralelogramos obtidos pela intersecção das suas trissectrizes estão representados a verde e a roxo.

(Clique nos pontos \(A\), \(B\) e \(D\) para mudar a forma do paralelogramo \([ABCD]\))