Áreas

\(\DeclareMathOperator{\sen}{sen}\)

Será que existe alguma relação entre a área do triângulo de Morley e a área do triângulo inicial? Experimente o seguinte applet:

(Clique com o rato em qualquer um dos vértices do triângulo \([ABC]\) e desloque-o)

Podemos imediatamente concluir que as áreas não são directamente proporcionais. De facto, o valor da área do triângulo inicial não pode ficar determinado pelo valor da área do triângulo de Morley, uma vez que há uma infinidade de triângulos que dão origem ao mesmo triângulo equilátero e com valores bastante distintos para as suas áreas (ver "ao contrário"). No entanto, é possível demonstrar que o valor máximo da razão entre as áreas é \(\frac{64}{3} \sen^{6} \frac{\pi}{9}\) (aproximadamente \(0.03415\) ou \(3.415\%\)), e que este valor só é obtido quando o triângulo inicial é também ele equilátero.

Utilizando novamente o applet, veja se consegue atingir o valor máximo da razão entre as áreas (sugestão: coloque, em primeiro lugar, um dos lados do triângulo na horizontal e de seguida procure a posição do vértice oposto de modo a que o triângulo seja equilátero).

Nota: é também possível demonstrar que o valor máximo da razão entre os perímetros dos triângulos é \(\frac{8}{\sqrt{3}} \sen^{3} \frac{\pi}{9}\) (aproximadamente \(0.18479\) ou \(18.479\%\)). De onde vêm estes valores?