ATRACTOR

Analisando os sinais das funções \(g: x \mapsto c^{c^x} - x\) e \(h: x \mapsto c^x - x\) nos intervalos \(]0, \nu_1[\), \(]\nu_1, \eta[\), \(]\eta, \nu_2[\) e \(]\nu_2, +\infty[\), resumidos na tabela seguinte

concluimos ainda que \(\nu_1\), \(\eta\) e \(\nu_2\) são os únicos zeros de \(g\), sendo \(\eta\) o único zero de \(h\). Além disso:

• Como \[H_c^2(H_c(\nu_1))=H_c(H_c^2(\nu_1))=H_c(\nu_1)\] e \(H_c(\nu_1) \neq \nu_1\), tem-se \(H_c(\nu_1) = \nu_2\). Logo \(H_c(\nu_2) = H_c(H_c(\nu_1)) = \nu_1\).
• Se \(0 < x < \nu_1\), então, como neste intervalo a função \(g\) é positiva, temos \[x < H_c^2(x).\] Tendo em conta que \(H_c^2\) é função estritamente crescente, de \(0 < x < \nu_1\) concluimos ainda que \[H_c^2(x) < H_c^2(\nu_1)=\nu_1.\] Por indução finita, provamos então que a sucessão \(\left(H_c^2)^n(x)\right)_{n \in \mathbb{N}}\) é monótona crescente e majorada por \(\nu_1\), logo convergente para um ponto fixo de \(H_c^2\). Como em \(]0, \nu_1]\) a função \(H_c^2\) só tem um ponto fixo, nomeadamente \(\nu_1\), a órbita por \(H_c^2\) de \(x\) converge para \(\nu_1\).

Analogamente se prova que a órbita de \(H_c(x)\) por \(H_c^2\) é monótona decrescente e minorada por \(\nu_2\), logo converge para \(\nu_2\).

Nota: comecemos por verificar que, se \(0 < x < \nu_1\), então (como \(H_c\) é estritamente decrescente para os valores de c que estamos a considerar agora) \(H_c(x) > H_c(\nu_1) = \nu_2\) o que implica que \((H_c)^2(x) < H_c(\nu_2) = \nu_1\) e \((H_c)^3(x) > H_c(\nu_1) = \nu_2.\) Notemos agora que, estando \(H_c(x)\) à direita de \(\nu_2\) e sendo a função g negativa no intervalo \(] \nu_2, \infty [\), se tem \((H_c)^3 (x) < H_c(x).\) Se agora aplicarmos sucessivamente a função \((H_c)^2\) (\((H_c)^2\) é estritamente crescente) à desigualdade \(\nu_2 < (H_c)^3 (x) < H_c(x)\), obtemos (recordemos que \(\nu_2\) é ponto fixo de \((H_c)^2\)) \[\nu_2 < ... < (H_c)^{2k}(H_c(x)) < (H_c)^{2k - 2}(H_c(x)) < ... <\] \[<(H_c)^4(H_c(x)) < (H_c)^2(H_c(x)) < H_c(x).\] O que significa que a órbita de \(H_c(x)\) pela função \((H_c)^2\) é estritamente decrescente e minorada por \(\nu_2\).

E um argumento semelhante ao anterior pode formular-se para o intervalo \(]\nu_1, \eta[\).
Quanto a \(x\) em algum dos intervalos \(]\eta, \nu_2[\) ou \(]\nu_2, +\infty[\), conclui-se de modo análogo que a órbita de \(x\) por \(H_c^2\) converge para \(\nu_2\) e a órbita de \(H_c(x)\) por \(H_c^2\) converge para \(\nu_1\).