Dinâmica de uma família de exponenciais 
Demonstração - caso 7
\(\frac{1}{e^e} \leq c < \frac{1}{e}\)
Para estes valores de \(c\), a segunda derivada \(g^{\prime \prime}\) anula-se em algum ponto \(\mu\) entre \(0\) e \(1\) uma vez que
- \(g^{\prime \prime}(0) = (\log c)^3 c (1+\log c) > 0\) porque \(\log c < 0\) e \[c < \frac{1}{e} \quad \Rightarrow \quad 1 + \log c < 0;\]
- \(g^{\prime \prime}(1)= (\log c)^3 c \, c^c (1 + c \log c) < 0\) porque \(\log c <0\) e \[\frac{1}{e^e} \leq c < \frac{1}{e} \quad \Rightarrow \quad 1+ c \log c \geq 1 + c \log (\frac{1}{e^e}) = 1 + c(-e) > 0.\]
Podemos mesmo calcular tal zero, pois \[g^{\prime \prime}(x)= 0 \quad \Leftrightarrow \quad 1 + (\log c) c^x =0\] e, portanto, \[\mu = \frac{\log (-\frac{1}{\log c})}{\log c}.\] Além disso, tem-se \(g^{\prime \prime} > 0\) em \(]0, \mu[\) e \(g^{\prime \prime} < 0\) em \(]\mu, 1]\).
Se \(g^\prime(\mu) \leq 0\), então \(g^\prime < 0\) para todos os valores de \(x\neq \mu\) e, tal como na secção anterior, podemos concluir que \(g\) só pode anular-se uma vez, em \(\eta\), e, consequentemente, \[\ell_1 = \eta = \ell_2 \quad \quad \text{ e } \quad \quad \lim_{n \to +\infty}\, H_c^n(x) = \eta \quad \forall \,\,x \in \mathbb{R}.\] Resta-nos calcular a derivada de \(g\) em \(\mu\).
Tendo em conta que \(1 + (\log c) c^\mu = 0\) e que \(c \geq \frac{1}{e^e}\), podemos afirmar que \[g^\prime(\mu) = (\log c)^2 c^\mu c^{c^\mu} - 1 = [(\log c) c^\mu] (\log c) c^{c^\mu} - 1 = (-1)(\log c) c^{-\frac{1}{\log c}} - 1 = -\frac{\log c}{e} - 1 \leq 0.\]
Fig 6: Gráficos da funções \(H_c\), \(H_c^2\) e Identidade quando \(\frac{1}{e^e} \leq c < \frac{1}{e}\).
