ATRACTOR

\(0 < c < \frac{1}{e^e}\)

Quando \(c < \frac{1}{e^e}\), além de \(\eta\), a função \(g(x)=c^{c^x}-x\) anula-se em mais dois pontos. Efectivamente, uma vez que \(c^{c^\eta} - \eta =0\), tem-se:

• \(g^\prime(\eta)= (\log c)^2 c^\eta c^{c^\eta} - 1 = (\log c)^2 \eta^2 - 1 = (\log \eta)^2 - 1\), e \((\log \eta)^2 - 1 > 0\) porque, como vimos, \[c < \frac{1}{e^e} \quad \Rightarrow \quad \eta < \frac{1}{e}.\]
• Logo existe \(\varepsilon > 0\) suficientemente pequeno tal que \(g(\eta - \varepsilon) < 0\) e \(g(\eta + \varepsilon) > 0\).
• \(g(0)= c^{c^0}-0=c > 0\), e portanto \(g\) tem um zero \(\nu_1\) entre \(0\) e \(\eta-\varepsilon\). Em particular, \(\nu_1 \neq \eta\) e, portanto, \(H_c(\nu_1) \neq \nu_1\).
• \(g(1)= c^{c^1}-1 = c^c - 1 < 0\) porque, sendo \(c < 1\), temos \(\log c < 0\) e, portanto, \(c \log c < 0\), isto é, \(c^c < 1\). Logo, \(g\) tem um zero \(\nu_2\) entre \(\eta+\varepsilon\) e \(1\). Como \(\nu_2 \neq \eta\), tem-se \(H_c(\nu_2) \neq \nu_2\).

Fig 7: Gráficos da funções \(H_c\), \(H_c^2\) e Identidade quando \(0 < c < \frac{1}{e^e}\).

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