ATRACTOR

\(c=e^{\frac{1}{e}}\)

Para este valor de \(c\), a função \(c^x\) tem um e um só ponto fixo. Determinamo-lo resolvendo a equação \(c^x=x\) para \(x > 0\). Ora, como vimos na secção anterior, se \(x > 0\), tem-se \(\frac{x}{e} \geq \log x\), e a igualdade dá-se se e só se \(x=e\). Logo, \[c^x=x \quad \Leftrightarrow \quad e^{x \log(e^{\frac{1}{e}})}=x \quad \Leftrightarrow \quad e^{\frac{x}{e}}=x \quad \Leftrightarrow \quad x=e.\]

Fig 2: Gráficos das funções \(H_c\) e identidade quando \(c=e^{\frac{1}{e}}.\)

Além disso, se \(0 < x \neq e\), então a órbita de \(x\) por \(H_c\) é uma sucessão estritamente crescente. De facto, como \[c=e^{\frac{1}{e}} \quad \Rightarrow \quad \log c = \frac{1}{e} \quad \Rightarrow \quad x\log c = \frac{x}{e}\] de \(\frac{x}{e} > \log x\) obtemos \(\log x < x \log c\) e, portanto, \(x < H_c(x)\). Como a função \(H_c\) é estritamente crescente (note-se que \(H^\prime_c(x) = (\log c) c^x > 0\) para todo o \(x\), se \(c > 1\)), aplicando \(H_c\) à desigualdade anterior, obtemos \(H_c(x) < H^2_c(x)\). Por indução, concluimos que \(H^n_c(x) < H^{n+1}_c(x)\) para todo o \(n \in \mathbb{N}\).
Podemos também provar que, quando \(0 < x < e\), a sucessão \(\left(H_c^n(x)\right)_{n \in \mathbb{N}}\) é majorada por \(e\): por hipótese \(x < e\); daqui resulta, por \(H_c\) ser função estritamente crescente, que \(H_c(x)<H_c(e)=e\); por indução finita, concluímos que, para todo o \(n \in \mathbb{N}\), se tem \(H_c^n(x)<e\). Logo, a órbita de \(x\) por \(H_c\) converge. Como \(H_c\) é função contínua, o limite desta órbita tem de ser um ponto fixo de \(H_c\). Uma vez que esta função só tem um ponto fixo, nomeadamente \(e\), deduzimos que \[0 < x < e \quad \Rightarrow \quad \lim_{n \to +\infty}\,H_c^n(x)=e.\] Por outro lado, quando \(x > e\), a órbita de \(x\) por \(H_c\) continua a ser estritamente crescente mas não pode ser limitada (caso contrário, teria limite e este teria de ser \(e\), o que não é possível por se ter \[e < x < H_c(x) < \cdots < H^n_c(x) < H^{n+1}_c(x) <\cdots \] para todo o natural \(n\)). E, portanto, \[x > e \quad \Rightarrow \quad \lim_{n \to +\infty}\,H_c^n(x)=+ \infty.\]

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