ATRACTOR

\(1<c<e^{\frac{1}{e}}\)

Verifiquemos que, para estes valores de \(c\), a função \(x \in \mathbb{R} \mapsto c^x\) tem dois pontos fixos, um entre \(1\) e \(e\) e outro maior do que \(e\). Para isso, voltemos à função \[x \in \mathbb{R} \quad \mapsto \quad h(x)=c^x - x.\] Como \(0 < \log c\), a derivada de \(h\) anula-se precisamente em \(\gamma = - \frac{\log(\log c)}{\log c}\). Além disso, \(h^\prime < 0\) em \(]-\infty, \gamma[\) e \(h^\prime >0\) em \(]\gamma, + \infty[\). Note-se que \(\gamma > e\) uma vez que \[1 < c < e^{\frac{1}{e}} \quad \Rightarrow \quad 0 < \log c < \frac{1}{e} \quad \Rightarrow \quad \log(\log c) < -1 \quad \Rightarrow \\ \quad -\frac{\log(\log c)}{\log c} > \frac{1}{\log c} > e.\] Observe-se ainda que \(\lim_{x \to +\infty}\, h(x)= + \infty.\) Consequentemente, tendo em conta o sinal de \(h^\prime\) e que \[ h(1) = c - 1 >0 \\ h(e) < (e^{\frac{1}{e}})^e - e = 0 \\ h(\gamma) = \frac{1+\log(\log c)}{\log c} < 0\] deduzimos que a função \(h\) se anula exactamente duas vezes, uma em \(1 < \alpha < e\) e outra em \(\gamma < \beta < +\infty\). E que \[0 < H^\prime_c(\alpha) = (\log c) c^\alpha < (\log c) c^\gamma =1 \quad \quad \text{ e } \quad \quad H^\prime_c(\beta) >1.\]

Fig 3: Gráficos da funções \(H_c\) e Identidade quando \(1 < c < e^{\frac{1}{e}}.\)

Demonstremos agora que, para todo o \(x \in \,\,]- \infty, \beta[\), a sucessão \((H_c^n(x))_{n \in \mathbb{N}}\) converge para \(\alpha\) (que assim actua como atractor neste intervalo), e que, para todo o \(x > \beta\), a sucessão \((H_c^n(x))_{n \in \mathbb{N}}\) tende para \(+ \infty\) (e \(\beta\) age como um repulsor).
Ora, para \(x \in \,\,]- \infty, \alpha[\), tem-se:

• A órbita de \(x\) por \(H_c\) é monótona crescente, uma vez que \(h>0\) em \(]- \infty, \alpha[\) e \(H_c\) é crescente.
• Como \(H_c\) é estritamente crescente e \( x < \alpha\), tem-se \(H_c^n(x) < \alpha \quad \forall \, n \in \mathbb{N}\).
• Por ser monótona e majorada, a sucessão \((H_c^n(x))_{n \in \mathbb{N}}\) converge.
• Como o limite tem de ser um ponto fixo de \([0,\alpha]\), é igual a \(\alpha\).

Analogamente se conclui que, para \(x \in \,\,]\alpha, \beta[\)

• A órbita de \(x\) por \(H_c\) é monótona decrescente uma vez que \(h<0\) em \(]\alpha, \beta[\) e \(H_c\) é crescente.
• Como \(H_c\) é estritamente crescente e \( \alpha < x < \beta\), tem-se \(\alpha < H_c^n(x) < \beta\quad \forall \, n \in \mathbb{N}.\)
• Por ser monótona e minorada, a sucessão \((H_c^n(x))_{n \in \mathbb{N}}\) converge.
• Como o limite tem de ser um ponto fixo de \([\alpha, x[\), é \(\alpha\).

Finalmente, se \(x > \beta\), então \(H_c^n(x) > \beta\) para todo o \(n \in \mathbb{N}\) e, se \(n>1\), podemos afirmar que:

• Pelo Teorema do Valor Médio de Cauchy, existe \(\xi_n \in\,\, ]\beta, H_c^n(x)[\) tal que \[H_c^n(x) - \beta = H_c(H_c^{n-1}(x)) - H_c(\beta) = H^\prime_c(\xi_n) [H_c^{n-1}(x) - \beta].\]
• Como \(H^\prime_c\) é estritamente crescente (note-se que \(H_c^{\prime \prime}(t) = (\log c)^2 c^t > 0 \quad \forall \, t \in \mathbb{R}\)), \[H^\prime_c(\xi_n) [H_c^{n-1}(x) - \beta] > H^\prime_c(\beta) [H_c^{n-1}(x) - \beta]\] e, portanto, tendo em conta que \(H^\prime_c(\beta) > 1\), \[\lim_{n \to +\infty}\,H_c^n(x) - \beta \geq \lim_{n \to +\infty}\,\left(H^\prime_c(\beta)\right)^{n-1} [H_c(x) - \beta] =+ \infty.\]

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