Dinâmica de uma família de exponenciais 
Demonstração - casos 4 e 5
\(c=1\)
Neste caso, para todo o \(x \in \mathbb{R}\) temos \(H_1(x)=1\) e, portanto, \(1\) é atractor global de \(H_1\).
Fig 4: Gráficos da funções \(H_1\) e Identidade.
\(0<c<1\)
Quando \(0 < c < 1\), a função \(h\) é estritamente decrescente uma vez que, sendo \(\log c <0\), se tem
\[h^\prime(x)=\left(c^x - x\right)^\prime = (\log c) c^x - 1 < 0.\]
Além disso, \(h(0) = 1\) e \(h(1) = c-1 < 0\), logo \(h\) tem um e um só zero, que está em \(]0,1[\). Designemos por \(\eta\) este ponto fixo de \(H_c\).
O comportamento assimptótico das órbitas por \(H_c\) de pontos numa vizinhança de \(\eta\) depende essencialmente da derivada de \(H_c\) em \(\eta\). Ora,
\[H^\prime_c(\eta) = (\log c) c^\eta = (\log c) \eta = \log \eta <0\]
- \(|\log \eta| < 1 \quad \Leftrightarrow \quad -1 < \log \eta \quad \Leftrightarrow \quad \eta > \frac{1}{e}.\)
- \(\eta > \frac{1}{e} \quad \Leftrightarrow \quad \log c = \frac{\log \eta}{\eta} > - \frac{1}{\eta} \quad \Rightarrow \quad \log c > -e \quad \Leftrightarrow \quad c > \frac{1}{e^e}.\)
- \(c > \frac{1}{e^e} \quad \Rightarrow \quad h(\frac{1}{e}) = c^{\frac{1}{e}} - \frac{1}{e} > (\frac{1}{e^e})^{\frac{1}{e}} - \frac{1}{e} = e^{-1} - \frac{1}{e} > 0 \quad \Rightarrow \quad \eta > \frac{1}{e}.\)
- \(c = \frac{1}{e^e} \quad \Leftrightarrow \quad \eta = \frac{1}{e}\)
- \(H^\prime_{\frac{1}{e^e}}(\frac{1}{e}) = -1.\)
