Ainda a Curvatura e a Torção

Como veremos, a curvatura e a torção são suficientes para identificar a forma de qualquer curva tridimensional.

A curvatura mede, em cada ponto, o quão rapidamente a curva se afasta da recta tangente à curva nesse mesmo ponto.  Observação importante sobre a curvatura...

A torção mede, em cada ponto, o quão rapidamente a curva se afasta do plano osculador à curva nesse mesmo ponto.  Observação importante sobre a torção...

Mas será que a curvatura e a torção são medidas suficientes para definir a forma de uma curva? De facto, existe um resultado similar ao Teorema Fundamental das Curvas Planas no caso tridimensional, mas é necessário considerar um pressuposto adicional em relação à função curvatura, que é o facto de esta ter que ser sempre maior que zero. Esta propriedade da função curvatura é essencial para se obter a unicidade da curva. Tem-se então o Teorema Fundamental das Curvas, que garante que se duas curvas tiverem a mesma função curvatura (com \(k>0\)) e a mesma função torção, existe um movimento rígido de \(\mathbb{R}^{3}\) que transforma uma curva na outra. Isto significa que é possível transformar qualquer uma das curvas na outra sem recorrer a deformações, ou seja, utilizando apenas translações e rotações.

Logo, uma qualquer curva fica definida, de forma única, por quatro informações

  • a função curvatura (\(>0\));
  • a função torção;
  • o ponto inicial da curva (corresponde à translação);
  • o Triedro de Frenet inicial da curva (corresponde à rotação).

Veja o seguinte applet e confirme experimentalmente que estas quatro informações são suficientes para definir uma curva.

E que conclusões é possível tirar nos casos em que a função curvatura não é sempre maior que zero?