Ainda a Curvatura e a Torção (II)

O facto de, no Teorema Fundamental das Curvas, a curvatura não poder tomar o valor zero é um inconveniente.

Em primeiro lugar, observe-se que existem curvas no applet 2D (obviamente planares) que não são construídas a partir do applet 3D (\(k>0\)). Tente descobrir algumas delas.

Exemplo

Como deve ter reparado, o problema surge quando a curvatura das curvas no applet 2D toma valores positivos e negativos. Nesta situação a curva não se encontra sempre a virar para o mesmo lado ("vira" para a esquerda nos pontos onde a curvatura é positiva e "vira" para a direita nos pontos onde a curvatura é negativa) enquanto que as curvas planares consideradas no caso tridimensional "viram" sempre para o mesmo lado.

Como deve ter reparado ainda, para que uma curva seja planar, a torção da curva terá que ser sempre nula.

Mas então, o que fazer para se ter as mesmas curvas planares, quer no caso bidimensional, quer no caso tridimensional?