Ainda a Curvatura (II)

A partir de uma determinada função curvatura também é possível determinar uma curva que tem esta função como função curvatura. Considere-se, por exemplo, a seguinte função curvatura:

Então, tem-se que:

tempo \(t_{0}\)  \(t_{1}\)  \(t_{2}\)  \(t_{3}\)  \(t_{4}\)  \(t_{5}\)
sinal da curvatura   0   +   -   +   0  
direcção do automóvel   frente   esquerda   direita   esquerda   frente  

Portanto, a trajectória do nosso automóvel seria (se se deslocasse com velocidade constante igual a \(1\)):

Mas será que existe outra curva (ou seja, outra trajectória para o automóvel que se desloca com velocidade constante igual a 1) cuja função curvatura seja dada pela função acima? Analisemos a seguinte curva:

Será que a função curvatura desta curva é diferente da anterior?

Uma vez que a curvatura num ponto depende apenas da tangente à curva nesse ponto, o facto de rodarmos a curva não irá alterar a curvatura dos seus pontos (pois as sucessivas tangentes também irão rodar igualmente). Portanto, qualquer rotação ou qualquer translação da curva indicada inicialmente terá como função curvatura a função apresentada.

De facto, o Teorema Fundamental das Curvas Planas garante que se duas curvas planas (supondo que estão a ser percorridas com velocidade constante igual a \(1\)) têm a mesma função curvatura, existe um movimento rígido que transforma uma curva na outra. Isto significa que é possível transformar qualquer uma das curvas na outra sem recorrer a deformações, ou seja, utilizando apenas translações e rotações.

Logo, uma qualquer curva plana fica definida, de forma única, por três informações

      - a função curvatura;

      - o ponto inicial da curva (corresponde à translação);

      - a tangente inicial da curva (corresponde à rotação).

Veja o seguinte applet e confirme experimentalmente que estas três informações são suficientes para definir uma curva plana:

applet 2D

Note-se que até ao momento apenas estudámos o caso das curvas planas. Mas será que podemos generalizar a noção de curvatura para curvas que não sejam planas? Será que uma qualquer curva tridimensional fica também definida, de forma única, pelas três informações acima referenciadas?