O modelo II

\(\require{color}\newcommand{\arule}[1]{{\color{#1}\Rule{3em}{1ex}{0ex}\;}}\) \(\DeclareMathOperator{\sen}{sen}\) \(\DeclareMathOperator{\cotg}{cotg}\)

Voltemos a observar a concha, mas agora encarando-a como um objecto de \(\mathbb{R}^{3}\) (ou seja, como um objecto tridimensional).

Pretendemos agora encontrar uma curva que "vista de cima" seja semelhante a uma espiral equiangular mas que vá "descendo continuamente" em relação ao plano horizontal que contém o ponto inicial da curva. Uma curva com tal propriedade designa-se por helicoidal.

Para aproveitar a equação que temos no caso planar, suponhamos que a "passagem" da espiral para a helicoidal, \(H(\theta )\), não altera a distância entre os pontos e a origem do referencial, ou seja, \[r(\theta)=Ae^{\theta \cotg (\alpha )},\theta\geq0,\] continua a representar a distância do respectivo ponto da curva à origem.

(clique na figura para abrir o applet respectivo)

\[\arule{red}=r(\theta)\Longrightarrow\begin{cases} \arule{blue}= & r(\theta)\cos(\beta)\\ \arule{orange}= & r(\theta)\sen(\beta) \end{cases}\]

Então, a cota desta curva será dada por

\[z(\theta )=-r(\theta )\cos (\beta ),\,\,\theta \geq 0,\]

onde \(\beta\) \( (0% %TCIMACRO{\UNICODE[m]{0xba}}% %BeginExpansion {{}^o}% %EndExpansion \leq \beta \leq 90% %TCIMACRO{\UNICODE[m]{0xba}}% %BeginExpansion {{}^o})% %EndExpansion \) é o ângulo de alargamento da helicoidal.

Por outro lado, observemos que para obter as equações \(x(\theta)\) e \(y(\theta)\) desta helicoidal basta substituir \(r(\theta)\) por \[r_{p}(\theta )=r(\theta )\sen (\beta ) \]

nas equações indicadas para a espiral.

Para observar o que acontece à helicoidal quando se variam os parâmetros \(\alpha\), \(\beta\) e \(A\), veja o seguinte applet.

Em resumo, em coordenadas cartesianas a equação da helicoidal pretendida, \(H(\theta)=\left(x(\theta),y(\theta)\right)\), é dada por \[\left\{ \begin{array}{l} x(\theta )=r_{p}(\theta )\cos (\theta )=Ae^{\theta \cotg (\alpha )}\sen (\beta )\cos (\theta ) \\ y(\theta )=r_{p}(\theta )\sen (\theta )=Ae^{\theta \cotg (\alpha )}\sen (\beta )\sen (\theta ) \\ z(\theta )=-Ae^{\theta \cotg (\alpha )}\cos (\beta ) \end{array} \right. .\]

Já temos o modelo matemático para os "alicerces" da concha. Falta-nos ainda o modelo para as paredes...