O modelo I

\(\DeclareMathOperator{\sen}{sen}\) \(\DeclareMathOperator{\cotg}{cotg}\)

Em primeiro lugar, observemos uma concha, como a da figura seguinte, vista de perfil e estudemos a sua forma (olhando-a como se fosse um objecto bidimensional).

A curva que melhor se aproxima desta forma é a espiral equiangular (também conhecida por espiral logarítmica) que, em coordenadas polares, tem equação \[r(\theta )=Ae^{\theta \cotg (\alpha )},\,\,\theta \geq 0,\]

onde

Para observar o que acontece à espiral quando se variam os parâmetros \(\alpha\) e \(A\), veja o seguinte applet.

Observações:

Em coordenadas cartesianas, esta espiral, \(h(\theta) = (x(\theta), y(\theta))\), é definida por \[\begin{cases} x(\theta) & =r(\theta)\cos(\theta)\\ y(\theta) & =r(\theta)\sen(\theta) \end{cases}\]

Um fenómeno similar a este aqui apresentado pode ser observado no crescimento de muitos corais, caracóis e das unhas e cornos dos animais.

E se encararmos a concha como um objecto tridimensional?