O modelo IV

\(\require{color}\newcommand{\arule}[1]{{\color{#1}\Rule{3em}{1ex}{0ex}\;}}\) \(\DeclareMathOperator{\sen}{sen}\) \(\DeclareMathOperator{\cotg}{cotg}\)

Podemos melhorar o nosso modelo, tornando-o mais geral, permitindo que a elipse geradora da concha possa não ser vertical e possa rodar no espaço. Para tal vamos na mesma considerar a elipse vertical centrada na origem \(E_{1}(\theta ,s)\) e considerar as rotações em torno das seguintes rectas:

1º caso: recta horizontal que passa na origem e é perpendicular à elipse inicial (rotação de ângulo \(\phi\));

2º caso: eixo \(OZ\) (rotação de ângulo \(\Omega\));

3ºcaso: eixo horizontal da elipse (rotação de ângulo \(\mu\)).

1º caso:

Basta fazer a "substituição" \(s\rightarrow s+\phi\) nas funções seno e co-seno que aparecem na equação da elipse \(E_{1}(\theta ,s)\).

2º caso:

(clique na figura para abrir o applet respectivo)

Basta fazer a "substituição" \(\theta \rightarrow \theta +\Omega\) nas funções seno e co-seno que aparecem na equação da elipse \(E_{1}(\theta ,s)\).

Portanto, as equações da elipse - centradas na origem - ficam iguais a \[E_{2}(\theta ,s)=\left\{ \begin{array}{lcl} \left( x_{e}\right) _{2}(\theta ,s)=r_{e}(s)e^{\theta \cotg (\alpha )}\cos (s+\phi )\cos (\theta +\Omega ) \\ \left( y_{e}\right) _{2}(\theta ,s)=r_{e}(s)e^{\theta \cotg (\alpha )}\cos (s+\phi )\sen (\theta +\Omega ) \\ \left( z_{e}\right) _{2}(\theta ,s)=r_{e}(s)e^{\theta \cotg (\alpha )}\sen (s+\phi ) \end{array} \right.\]

ou seja, a equação da concha é dada por \[C_{2}(\theta ,s)=\left\{ \begin{array}{lcl} x_{2}(\theta ,s)=\left[ A\sen (\beta )\cos (\theta )+r_{e}(s)\cos (s+\phi )\cos (\theta +\Omega )\right] e^{\theta \cotg (\alpha )} \\ y_{2}(\theta ,s)=\left[ A\sen (\beta )\sen (\theta )+r_{e}(s)\cos (s+\phi )\sen (\theta +\Omega )\right] e^{\theta \cotg (\alpha )} \\ z_{2}(\theta ,s)=\left[ -A\cos (\beta )+r_{e}(s)\sen (s+\phi )\right] e^{\theta \cotg (\alpha )} \end{array} \right.\]

3º caso:

\[\arule{orange}=\left( z_{e}\right) _{2}(\theta ,s)\Longrightarrow\begin{cases} \arule{magenta}= & \left( z_{e}\right) _{2}(\theta ,s)\cos(\mu)\\ \arule{red}= & \left( z_{e}\right) _{2}(\theta ,s)\sen(\mu) \end{cases}\]

Observando a figura anterior (que representa a elipse que se está a estudar vista de "perfil", bem como a sua rotação de ângulo \(\mu\)), tem-se \[z_{3}(\theta ,s)=z(\theta)+\left( z_{e}\right) _{2}(\theta ,s)\cos(\mu)=-Ae^{\theta \cotg (\alpha )}\cos (\beta )+r_{e}(s)e^{\theta \cotg (\alpha )}\sen (s+\phi )\cos (\mu )\]

\[\arule{red}=\left( z_{e}\right) _{2}(\theta ,s)\sen(\mu)\Longrightarrow\begin{cases} \arule{ForestGreen}= & \left( z_{e}\right) _{2}(\theta ,s)\sen(\mu)\sen(\theta+\Omega)\\ \arule{magenta}= & \left( z_{e}\right) _{2}(\theta ,s)\sen(\mu)\cos(\theta+\Omega) \end{cases}\]

Observando as duas figuras anteriores (onde a última representa a elipse inicial e a elipse depois da rotação), concluimos:\[x_{3}(\theta ,s)=x_{2}(\theta ,s)-\left[ \left( z_{e}\right) _{2}(\theta ,s)\sen (\mu )\right] \sen (\theta +\Omega )\] \[y_{3}(\theta ,s)=y_{2}(\theta ,s)+\left[ \left( z_{e}\right) _{2}(\theta ,s)\sen (\mu )\right] \cos (\theta +\Omega ).\]

Em resumo, as conchas podem ser modeladas matematicamente pela função \[C_{3}(\theta,s)=\begin{cases} x_{3}(\theta,s)=D[A\sen(\beta)\cos(\theta) & +r_{e}(s)\cos(s+\phi)\cos(\theta+\Omega)\\ & -r_{e}(s)\sen(s+\phi)\sen(\mu)\sen(\theta+\Omega)]e^{\theta\cotg(\alpha)}\\ y_{3}(\theta,s)=[A\sen(\beta)\sen(\theta) & +r_{e}(s)\cos(s+\phi)\sen(\theta+\Omega)\\ & +r_{e}(s)\sen(s+\phi)\sen(\mu)\cos(\theta+\Omega)]e^{\theta\cotg(\alpha)}\\ z_{3}(\theta,s)=[-A\cos(\beta)+r_{e}(s) & \sen(s+\phi)\cos(\mu)]e^{\theta\cotg(\alpha)} \end{cases}\]

onde \(D\) é um parâmetro que acrescentámos para definir o sentido de enrolamento da concha (pode ser positivo, \(1\), ou negativo, \(-1\)).

Observação: As funções \(C_{1}(\theta ,s)\) e \(C_{2}(\theta ,s)\) também são modelos matemáticos relativamente bem aproximados das conchas, tendo a vantagem de serem mais simples mas o inconveniente de não serem tão precisos quanto \(C_{3}(\theta ,s)\). A escolha do modelo dependerá do grau de precisão com que se pretende representar as conchas.

Nota: As funções \(C_{1}(\theta,s)\) e \(C_{2}(\theta,s)\) já são bons modelos matemáticos para as conchas, são mais simples mas não são tão precisos quanto \(C_{3}(\theta,s)\). A escolha do modelo depende da taxa de precisão que queremos para a nossa representação das conchas.

Para perceberes melhor o efeito que a variação dos parâmetros estudados têm na forma da concha, observa os seguintes applets.

Mas existem conchas com nódulos, espinhos e/ou estrias que não são bem representadas pelo modelo aqui indicado. Será que é possível alterar este modelo para "encaixar" este tipo de conchas?

Imagem retirada de [2]