Conchas 
O modelo III
Para construir as paredes da concha, vamos "substituir de um modo contínuo" cada ponto da helicoidal por uma curva fechada, centrada nesse mesmo ponto, que esteja contida num plano vertical. Esta curva será semelhante em todos os pontos da helicoidal e designa-se por curva geradora.
Notemos que aqui estamos a "substituir" cada ponto por uma curva com uma infinidade de pontos, o que obriga à introdução de um novo parâmetro: a variável \(s\). Enquanto que com o parâmetro \(\theta\) é possível indicar um ponto da helicoidal, apenas com a introdução da variável \(s\) será possível distinguir cada um dos pontos da curva geradora respectiva.
Em geral, a curva geradora das conchas tem a forma de uma elipse cuja equação, em coordenadas polares e supondo-a centrada na origem, é dada por \[r_{e}(s)=\frac{1}{\sqrt{\left(\frac{cos(s)}{a}\right)^{2}+\left(\frac{\sen(s)}{b}\right)^{2}}},\,\,0\leq s\leq 2\pi ,\]
onde
- \(a\) é o semi-eixo horizontal da elipse, em \(\theta=0\);
- \(b\) é o semi-eixo vertical da elipse, em \(\theta=0\).
Notemos ainda que a curva geradora se alarga à medida que \(\theta\) cresce - o que permite que o animal que habita a concha cresça - e suponhamos que o seu ritmo de crescimento é igual ao ritmo de crescimento da helicoidal, ou seja, \[r_{c}(\theta )=e^{\theta \cotg (\alpha )}.\]
Para observar a variação da curva geradora ao longo do tempo, veja a seguinte app.
Então, a equação da curva geradora, em coordenadas polares e supondo-a centrada na origem, é dada por \[R_{e}(\theta ,s)=r_{e}(s).r_{c}(\theta )=r_{e}(s)e^{\theta \cotg (\alpha )},\theta \geq 0,0\leq s\leq 2\pi ,\]
(clique na figura para abrir a app respectiva)
\[\arule{magenta}=R_{e}(\theta,s)\Longrightarrow\begin{cases} \arule{red}=R_{e}(\theta,s)\sen(s)\\ \arule{blue}=R_{e}(\theta,s)\cos(s)\Longrightarrow & \begin{cases} \arule{ForestGreen}= & R_{e}(\theta,s)\cos(s)\sen(\theta)\\ \arule{orange}= & R_{e}(\theta,s)\cos(s)\cos(\theta) \end{cases} \end{cases}\]
o que é equivalente, em coordenadas cartesianas, a
\[E_{1}(\theta ,s)=\left\{ \begin{array}{lcl} \left( x_{e}\right) _{1}(\theta ,s)=r_{e}(s)e^{\theta \cotg (\alpha )}\cos (s)\cos (\theta ) \\ \left( y_{e}\right) _{1}(\theta ,s)=r_{e}(s)e^{\theta \cotg (\alpha )}\cos (s)\sen (\theta ) \\ \left( z_{e}\right) _{1}(\theta ,s)=r_{e}(s)e^{\theta \cotg (\alpha )}\sen (s) \end{array} \right.\]
Para obter as equações que definem a concha, basta agora transladar as elipses consideradas na fórmula anterior para os respectivos pontos da helicoidal. Obtemos
\[C_{1}(\theta ,s)=H(\theta )+E_{1}(\theta ,s)=\\ =\left\{ \begin{array}{lcl} x_{1}(\theta ,s)=Ae^{\theta \cotg (\alpha )}\sen (\beta )\cos (\theta )+r_{e}(s)e^{\theta \cotg (\alpha )}\cos (s)\cos (\theta ) \\ y_{1}(\theta ,s)=Ae^{\theta \cotg (\alpha )}\sen (\beta )\sen (\theta )+r_{e}(s)e^{\theta \cotg (\alpha )}\cos (s)\sen (\theta ) \\ z_{1}(\theta ,s)=-Ae^{\theta \cotg (\alpha )}\cos (\beta )+r_{e}(s)e^{\theta \cotg (\alpha )}\sen (s) \end{array} \right.\]
