OPERAÇÃO – ELEMENTO NEUTRO

Quando dizemos que o produto de números reais tem elemento neutro, estamos a dizer que existe um número que multiplicado (à esquerda ou à direita) por qualquer outro não o altera, ou seja, existe um real e tal que e.a=a.e=a, para todo o a real. E, no caso do produto habitual, sabemos que e=1.

No produto de caminhos (nas classes de homotopia) a verificação a fazer é análoga: ver que existem classes de caminhos – os caminhos constantes – que quando multiplicados – adequadamente! – à esquerda ou à direita por um caminho dão origem a um caminho homotópico ao inicial..

Mais formalmente, para cada ponto da superfície, o caminho constante igual a esse ponto é, respectivamente, elemento neutro à esquerda e à direita para os caminhos que começam nesse ponto e para aqueles que aí terminam. Assim, se f de [0,1] em S vai de A para A', e e e e' são os caminhos de valores constantes A e A', e.f e f.e' são homotópicos a f.

Tendo em conta a descrição da operação em caminhos percorridos durante uma hora, os produtos acima vão diferir no tempo e velocidades com que se percorre cada trilho.

No caso de e.f:

Corresponde a percorrer e na primeira meia hora e f na última. Sendo e um caminho constante (igual ao valor inicial de f), isto significa ficar parado no ponto de partida durante meia hora e depois correr o trilho de f (dobrando a velocidade do caminho inicial).

Formalmente, g1=e.f de [0,1] em S pode ser definida por:

g1(t) = f(0)  se   0 t 0.5
f(2t–1)  se   0.5 < t 1
 

No caso de f.e':

Corresponde a percorrer f na primeira meia hora e e' na última. Sendo e' um caminho constante (igual ao valor final de f), isto significa correr a totalidade do trilho de f (dobrando a velocidade do caminho inicial) na primeira meia hora e depois ficar parado no ponto de chegada durante a meia hora que resta.

Formalmente, g2=f.e' de [0,1] em S pode ser definida por:

g2(t) = f(2t) se   0 t 0.5
f(1) se   0.5 < t 1
 

 

Portanto, os caminhos produto são diferentes entre si e são diferentes de f ! No entanto, verifica-se que são todos homotópicos, bastando uma variação contínua das velocidades de percurso (ou da coloração dos elásticos).

Formalmente, uma homotopia H de [0,1]x[0,1] em S (entre g2 e f ) pode ser dada por:

H(t,x) = f((1–x)2t+xt) se   0 t 0.5 
f((1–x)+xt) se   0.5 < t 1 
(Clique sobre a figura para aceder ao applet.)

 

Descrição da operação
[Elemento neutro]