Classes de caminhos (applets)

Dados dois caminhos (com os mesmos pontos inicial e final), podemos perguntar se são ou não homotópicos, isto é, se são ou não deformáveis um no outro de forma contínua. A resposta a esta questão vai depender, para além dos caminhos em si, da superfície em que os estivermos a considerar. Pensando nos elásticos graduados, a ideia é, fixando os pontos iniciais e finais, mover um dos elásticos até conseguir sobrepô-lo ao outro, mantendo-o sempre sobre a superfície. Este "manter sobre a superfície" é importante! Por exemplo, se a superfície tiver buracos, não podemos simplesmente passar por cima, somos obrigados a contorná-los de alguma forma!

Um caso simples onde se pode ver como este "pormenor" faz toda a diferença é comparar os movimentos que podem ser efectuados no plano e no plano menos um ponto (o plano com um buraco)...

Os applets abaixo procuram explorar essa situação:

(Clique sobre as figuras para aceder aos applets.)

Olhando para a definição matemática de homotopia, esta questão está salvaguardada no conjunto de chegada da aplicação e na sua continuidade. Considerando \(H\) de \([0,1]\times[0,1]\) em \(S\), todos os pontos imagem de \(H\) estão em \(S\) e, portanto, os pontos que não pertencem a \(S\) não podem ser pontos de caminhos por \(H\) - ou seja, não podemos ignorar os buracos passando sobre os eles! Por outro lado, como \(H\) é contínua, todos os caminhos por \(H\) têm de ser contínuos - ou seja, não podemos saltar os buracos!