Ainda a Curvatura (I)

Suponhamos um automóvel, a deslocar-se com velocidade constante igual a 1, que percorre a seguinte trajectória:

O automóvel desloca-se inicialmente em linha recta; em seguida vira à esquerda e depois à direita até voltar a andar outra vez em linha recta. Então, tem-se que:

tempo \(t_{0}\)  \(t_{1}\)  \(t_{2}\)  \(t_{3}\)  \(t_{4}\)
direcção do automóvel   frente   esquerda   direita   frente  
sinal da curvatura   0   +   -   0  

Portanto, a curvatura pode ser dada por um gráfico do género:

Para saber se já sabe identificar a função curvatura de uma determinada curva, jogue os seguintes jogos:

jogo fácil

jogo díficil

De facto, tem-se que a qualquer curva suave é possível associar a sua função curvatura. Para tal, supõe-se uma partícula material ("o nosso automóvel") a percorrer a curva com velocidade constante igual a \(1\) e observa-se a variação da curva em relação às sucessivas rectas tangentes.

E o recíproco também é válido? Dada uma qualquer função curvatura, é possível identificar uma curva que tem essa função como função curvatura? E se existir, será que essa curva é única?