Triângulo de Reuleaux e análogos

Consideremos uma direcção e o par de rectas suporte do triângulo de Reuleaux nessa direcção. Se uma destas rectas é tangente a um ponto interior a um dos arcos de circunferência, traçado com centro num vértice, então a outra recta suporte passa por esse vértice e a distância entre elas é o raio da circunferência, L. Se ambas as rectas suporte intersectam a curva em vértices, então são tangentes a extremos de arcos de circunferência distintos e a largura da curva nessa direcção é o comprimento L do lado do triângulo equilátero que originou o de Reuleaux.

Se agora considerarmos duas direcções perpendiculares e o par de rectas suporte em cada direcção, elas formam um quadrado onde o triângulo de Reuleaux pode ser rodado sem perder contacto com qualquer dos lados do quadrado. (Esta propriedade é válida para todas as curvas de largura constante e, reciprocamente, se ela é satisfeita, então a curva tem largura constante.) Mas, ao contrário da circunferência, durante este movimento o centro geométrico do triângulo de Reuleaux não fica fixo porque não está a igual distância de pares de rectas suporte paralelas.

Nota: Nas figuras assinaladas com #, se passar o rato por cima verá um gif animado.

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Uma construção análoga a esta desenha polígonos de Reuleaux com um número ímpar de lados que são arcos de circunferência; e, permitindo arcos de raios distintos, podemos obter polígonos com um número par de lados. Contudo, existem outros processos de construir curvas de largura constante sem recorrer a arcos de circunferência [5].

Na imagem acima estão moedas cujos bordos são curvas de largura constante com os cantos arredondados. Tal arredondamento pode obter-se por processo análogo ao que descreveremos para o triângulo de Reuleaux. Depois de se desenhar um triângulo equilátero [ABC], de lado L, prolongam-se os seus lados e, com centro em cada um dos vértices, traçam-se arcos de circunferência de raio r (arbitrário) compreendidos entre os prolongamentos dos lados do triângulo. Em seguida, com centro nos vértices, traçam-se arcos de raio L+r a unir estes pequenos arcos.