CURVAS NO ESPAÇO

É possível generalizar para curvas em ³, da maneira óbvia, os conceitos de curva diferenciável, vector velocidade e traço da curva para curvas planas. Os conceitos de curva regular, comprimento de arco, vector tangente e vector normal também podem ser generalizados a partir do caso planar.

Define-se portanto que, dada f: I³ uma curva parametrizada pelo comprimento de arco, T = ( T₁, T₂, T₃ ) é o vector tangente e que N = ( N₁, N₂, N₃ ) é o vector normal à curva num determinado ponto. A tangente é dada por f´(t) enquanto que o vector normal é dado por

Na situação tridimensional, define-se ainda um terceiro vector: o vector binormal. Este vector é definido do seguinte modo:

Verifica-se que I B I = 1. O vector tangente (T), o vector normal (N) e o vector binormal (B) formam o chamado triedro de Frenet. Os três vectores unitários que formam este triedro são mutuamente ortogonais; a tangente T indica a direcção na qual a curva se está a mover; a normal N indica a direcção para a qual a curva se está a virar e a binormal B é um vector perpendicular a T e a N, de modo a formarem os três um referencial ortonormado, orientado positivamente.

O plano definido pelos vectores tangente T e normal N denomina-se de plano osculador. O plano osculador de um dado ponto da curva é o plano que melhor se aproxima da curva nesse ponto. Note-se ainda que o vector binormal B é perpendicular ao plano osculador.

Vejam-se alguns exemplos:

exemplo 1                                                               exemplo 2

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