Ainda a ARITMÉTICA MODULAR

Quando estamos a utilizar a aritmética usual sobre os números naturais, apenas temos como números o 1, o 2, o 3, o 4, o 5, ... Se em vez dos naturais considerarmos os números inteiros passamos a trabalhar com os números ..., -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, ... E no caso da Aritmética Modular? Quais os números que se consideram nesta aritmética?

Vejamos o exemplo de

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Neste caso temos que o número 20 é identificado com o número 8, ou seja, termos o número 20 ou o número 8 é equivalente na Aritmética Módulo 12. Equivalente a estes dois, temos ainda uma infinidade de outros números: o 32, o 44, o 56, ... A este conjunto de números

chamamos classe de equivalência módulo 12 e esta classe vai ser identificada pelo mais pequeno deles, ou seja, pelo 8. De um modo análogo, temos ainda mais 11 classes de equivalência nesta aritmética representadas pelos números: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 9, 10, 11.

E estes vão ser os nossos "números" nesta aritmética: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10 e 11.

Generalizando, os "números" considerados na Aritmética Modular Módulo n são: 0, 1, 2, ..., n-2 e n-1.

Uma vez que este tipo de aritméticas apenas considera um número finito de "números", também se diz que a Aritmética Modular é uma aritmética finita.

Agora que já temos os nossos números, o passo seguinte é estudar as operações que se podem efectuar com estes números, em particular, a adição e a multiplicação.