Cobertura de Conjuntos convexos por conjuntos homotéticos mais pequenos

• Círculo

• Paralelogramo

• Generalização

Diz-se que F' é um conjunto homotético mais pequeno de F se F' for a imagem de F por uma homotetia h de centro O e razão positiva k<1.

Isto pode ser observado e testado na figura seguinte, onde todos os pontos a vermelho podem ser movidos.

O círculo preto é o círculo original que queremos cobrir com os círculos c1 (verde) e c2 (azul) e c3 (vermelho). Os pontos k1, k2, k3 representam as razões das homotetias e O1, O2, O3 são os centros das homotetias. Sem ver o círculo c3, mova os pontos k1 e k2 para ver se consegue cobrir o círculo só com dois círculos homotéticos mais pequenos. (Atenção que, segundo a definição, para ter um círculo homotético mais pequeno, a razão k da homotetia tem de ser menor que 1.) Não consegue? Então tente mudar também um pouco a posição dos centros das homotetias... Na verdade dois círculos não são suficientes!

Clique no botão para mostrar o terceiro círculo homotético mais pequeno e assim já conseguirá formar a cobertura desejada.

(Os applets seguintes foram produzidos com o auxílio do  JavaSketchpad)

Clique no terceiro botão para saber por que é que dois círculos homotéticos mais pequenos não são suficientes para cobrir o círculo. O ponto A (ou então o seu antípoda) não é coberto pelos dois círculos pois

AC1> AC = raio de ceAC2> AC = raio de c

e, como as razões das homotetias h1 e h2 são menores que 1, os círculos homotéticos mais pequenos c1 e c2 têm raios sempre menores que o raio do círculo c.

Isto pode ser observado e testado na figura seguinte, onde todos os pontos a vermelho podem ser movidos.

O paralelogramo preto é o paralelogramo original que pretendemos cobrir. Cada um dos outros paralelogramos coloridos é imagem deste por uma homotetia de razão menor que 1. Os pontos k1, k2, k3 e k4 representam as razões das homotetias e O1, O2, O3 e O4 são os centros das homotetias. Sem ver o 4º paralelogramo, mova os pontos k1, k2 e k3 para ver se consegue cobrir o paralelogramo só com três paralelogramos homotéticos mais pequenos. Não consegue? Então tente mudar também um pouco a posição dos centros das homotetias... Na verdade, três paralelogramos não são suficientes! Clique no botão, para mostrar o quarto paralelogramo homotético mais pequeno: assim já conseguirá formar a cobertura desejada.
 
 

Na verdade, como os lados dos paralelogramos homotéticos se mantêm paralelos aos lados do paralelogramo original e como a razão das homotetias não pode ser 1, cada paralelogramo homotético mais pequeno cobre no máximo um vértice do paralelogramo original; é portanto necessário ter no mínimo um para cobrir cada vértice, ou seja, são necessários 4 paralelogramos homotéticos mais pequenos para obter a cobertura desejada.

Do mesmo modo se pode observar que o número mínimo de conjuntos homotéticos necessários para cobrir um paralelipípedo é oito. E se generalizarmos a um espaço de dimensão n, temos também que um paralelipípedo n-dimensional pode ser coberto por 2ⁿ paralelipípedos homotéticos mais pequenos.

Pode experimentar este resultado no sketch seguinte, alterando a figura original, que está a preto, tendo em atenção que a figura deve ser convexa (e também não pode ser um paralelogramo, pois nesse caso seriam necessárias quatro homotetias) e movendo os centros das homotetias, aumentando e diminuindo as razões, que devem ser menores que 1 para os conjuntos homotéticos serem mais pequenos do que o conjunto original.

Tentou-se generalizar este resultado a outras dimensões com a seguinte conjectura:

Conjectura de Hadwiger (1957):
O número mínimo de conjuntos convexos homotéticos mais pequenos com os quais é possível cobrir um corpo convexo limitado de dimensão n, que não seja um paralelipípedo n-dimensional, é menor que 2ⁿ; esse número é igual a 2ⁿ apenas para o caso do paralelipípedo n-dimensional.

Contudo, esta conjectura ainda não foi provada nem refutada, nem mesmo para o caso em que n=3 !

Foram provados, porém, alguns resultados mais fracos:

Seja b(F) o número mínimo de conjuntos homotéticos mais pequenos de F com os quais é possível cobrir F.

Foram provados os seguintes limites superiores para certos conjuntos especiais:

• Levin e Petunin: Para qualquer corpo F n-dimensional, convexo e centralmente simétrico

b(F) (n+1)ⁿ

Rogers: Para qualquer corpo F n-dimensional e centralmente simétrico
b(F) (2ⁿ)(n ln(n) + n ln(ln(n)) + 5n)

• Para qualquer corpo F convexo limitado de dimensão n tem-se

b(F) n+1

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