Divisão geral de diagonais de um hexágono

 

Para uma versão animada (com o parâmetro \(p\) a variar continuamente entre \(0\) e \(1\)) deste applet no espaço, clique aqui.

Instruções

Clique nos vértices do hexágono inicial (pontos a azul) e arraste-os, observando os vários hexágonos obtidos por divisão das diagonais que unem vértices opostos em dois segmentos cujo comprimento é, respectivamente, \(p\) e \(1-p\) vezes maior do que o comprimento dessa diagonal, com \(0 < p < 1\). Para mudar o parâmetro \(p\), basta deslocar o ponto verde.

Note que, para valores de \(p\) próximos de \(\frac{1}{2}\), os hexágonos obtidos parecem aproximar-se de um triângulo (eventualmente degenerado num segmento de recta ou num ponto). De facto, independentemente do valor de \(p\), os hexágonos obtidos tendem sempre para um certo triângulo, sendo esta convergência tanto mais rápida quanto mais próximo de \(\frac{1}{2}\) estiver o \(p\). Porque será?