Divisão geral do lado de um hexágono

 

Para uma versão animada (com o parâmetro \(p\) a variar continuamente entre \(0\) e \(1\) deste applet no espaço, clique aqui.

Instruções

Clique nos vértices do hexágono inicial (pontos a azul) e arraste-os, observando os vários hexágonos obtidos por divisão de cada lado em dois segmentos cujo comprimento é, respectivamente, \(p\) e \(1-p\) vezes maior do que o comprimento desse lado, com \(0 < p < 1\). Para mudar o parâmetro \(p\), basta deslocar o ponto verde.

Note que, para valores de \(p\) próximos de \(\frac{1}{2}\), os hexágonos obtidos parecem ter uma forma mais "regular" do que para valores afastados de \(\frac{1}{2}\). No entanto, independentemente do valor de \(p\), os hexágonos obtidos tendem sempre para hexágonos "regulares", ou seja, com os lados opostos paralelos entre si e paralelos a uma das diagonais. Simplesmente, esta convergência é tanto mais rápida quanto mais próximo de \(\frac{1}{2}\) estiver o valor de \(p\). Porque será?