Texto III

Propomos-lhe que volte ao tabuleiro de jogo, que se certifique de que não está a jogar contra o computador e que opte por clicar no botão de caminho.

No pequeno triângulo à esquerda em cima apareceu marcado um sentido de percurso (uma orientação), que é o contrário ao do avanço dos ponteiros de um relógio e apareceu também uma seta colorida, do disco vermelho para o verde.

Voltando ao triângulo grande, sempre que, no lado da direita, há - no tal sentido indicado - uma mudança de vermelho para verde, passa agora a aparecer uma seta atravessada, deixando o disco vermelho à esquerda e o verde à direita.

Repare que, neste exemplo, entre os dois discos do meio do lado não está marcada nenhuma seta, porque a mudança do vermelho para o verde não é no sentido que estamos a considerar, mas sim no oposto.

Se houver maneira de continuar o caminho assim começado, por forma que continue a ficar um disco vermelho à esquerda e um verde à direita, será desenhado novo segmento (coloque o ponteiro do rato em cima da figura):

Que acha que acontece ao caminho indicado, se, no disco ainda sem cor à esquerda do verde na figura acima, for colocado, respectivamente, um disco vermelho, um verde ou um azul? Quando é que o caminho continua e por onde?

Repare que a última hipótese (azul) corresponde a o jogador perder o jogo, pois forma-se um pequeno triângulo com as três cores. Só nesse caso do disco azul é que não será possível prolongar o caminho: ele termina nesse pequeno triângulo com 3 cores. Depois de tirar as suas conclusões, pode verificá-las colocando o ponteiro do rato sucessivamente em cima de cada uma das três imagens.

Será que todo o caminho termina num tal triângulo com 3 cores?

O exemplo da figura seguinte mostra que não

Neste exemplo, dois dos caminhos voltam a sair pelo lado direito do triângulo grande - o mesmo lado onde todos os caminhos tinham começado. À saída, para cada um daqueles dois caminhos, temos - como sempre - um disco vermelho pela esquerda e outro verde pela direita do caminho. Mas agora, à saída, a mudança do vermelho para o verde tem, no lado grande, um sentido diferente do que tínhamos considerado à entrada.

Consideremos um caminho que não volte a sair pelo lado da direita. O que é que lhe pode acontecer? Será que ele pode passar duas vezes no mesmo pequeno triângulo? Isto é, fazer algo como o representado na figura seguinte?

Não é possível, e a razão é simples:

e então o caminho não poderá voltar a entrar pelo outro lado (de cima) desse pequeno triângulo, uma vez que ambos os discos são verdes.

Resumo da situação:

se houver um caminho que entra pelo lado direito do triângulo grande e não volta a sair pelo mesmo lado, então:

  1. não sai por nenhum dos outros dois lados do triângulo grande, porque em nenhum deles há simultaneamente as duas cores (vermelho e verde);
  2. não passa duas vezes por um mesmo triângulo pequeno;
  3. como só há um número finito de pequenos triângulos, o caminho tem de parar.

Mas já vimos atrás qual era o único caso em que um caminho parava: era quando chegava a um pequeno triângulo com as três cores.

Qual é então a conclusão que se consegue tirar?

É a de que, para mostrar que há um pequeno triângulo com 3 cores, já só falta garantir que há um caminho que entra pelo lado direito do triângulo grande e não volta a sair pelo mesmo lado.

Volte ao jogo e, para diversos valores de \(n\), faça várias escolhas para as cores dos discos do lado direito do triângulo grande. Em cada caso, observe as mudanças de cor que ocorrem nesse lado, conte quantas correspondem a começos de caminhos e quantas podem vir a ser saídas de caminhos. Que pode concluir da comparação entre estas duas contagens? Conclui ou não que, nos exemplos que considerou, há (pelo menos) um caminho que entra por esse lado, mas não sai por ele?

Se quiser, faça a mesma comparação para o exemplo mostrado na figura seguinte (e para aqueles a que acede se colocar o rato sobre ela).

Só depois de ter feito estas observações, aceda à página final sobre este assunto.