Texto I

Nota: Nas figuras assinaladas com , se passar o rato por cima verá um gif animado.

Comece por jogar algumas vezes com outro jogador ou contra o computador, consultando a ajuda, se não conhece as possibilidades desta versão.

As regras são muito simples: cada jogador coloca alternadamente um disco colorido num dos discos ainda não coloridos, por forma que:

  1. no interior do triângulo grande qualquer cor pode ser usada;
  2. em cada lado do triângulo grande, só pode colocar um disco com uma das duas cores que já estão nos extremos desse lado.
  3. perde o jogador que primeiro completar um pequeno triângulo com discos das três cores.

Se ainda não experimentou, pode agora usar o jogo várias vezes e nem sempre com tabuleiros do mesmo tamanho. Para alterar o tamanho, mude o valor de \(n\), fazendo em seguida Enter. Tanto pode jogar contra o computador como contra outro jogador.

Pode encarar este jogo apenas como tal: um jogo. Mesmo assim, talvez consiga lembrar-se se, quando jogou, alguma vez terminou em empate. Isto é, se em algum dos jogos chegou a uma situação em que:

portanto, nenhum dos jogadores podia jogar mais, mas também nenhum tinha perdido.

Eis alguns finais de jogo em que não houve empate, porque apareceu um triângulo pequeno com três cores, portanto, nos quatro casos, a última pessoa que jogou perdeu

Se, para cada uma destas posições finais, quiser ver qual foi a posição anterior e verificar que não haveria outra jogada que evitasse o pequeno triângulo com 3 cores, basta-lhe colocar o ponteiro do rato sobre a imagem respectiva. Repare que em cada um dos três primeiros exemplos havia 3 possíveis jogadas, enquanto no quarto exemplo havia 7 possíveis jogadas, mas todas estas \(16\) \((=3+3+3+7)\) possibilidades conduziam sempre a um pequeno triângulo com 3 cores.

Se, em todas as vezes que jogou, não encontrou nenhuma situação de empate, talvez tenha curiosidade em saber se haverá ou não uma tal possibilidade. Se está curioso, comece por fazer várias tentativas para "forçar" um empate. Escolha triângulos iniciais com lados de comprimentos diferentes: \(3, 5, 8, ...\) e procure ir colocando discos coloridos, sem fazer aparecer um pequeno triângulo com as três cores nos vértices (para isto, não é necessário dispor de dois jogadores: não escolha "jogar com o computador" e vá colocando sempre discos, sem atender às indicações referentes aos jogadores 1 e 2).

Um conselho: não aceda aos textos seguintes, sem ter efectivamente feito aquelas tentativas.

Como vimos, nas figuras acima estão quatro finais de jogo em que não houve empate. Em todos estes casos, acabou por aparecer um triângulo com as 3 cores. Nestes exemplos, estamos a imaginar que nenhum jogador estava distraído no momento de jogar, isto é, quando um dos jogadores perdeu, fazendo um triângulo de 3 cores (ou tricolorido), não havia nenhuma possibilidade de colocar um disco sem fazer um tal triângulo. Por exemplo, estamos a excluir situações como as das figuras

Se quer realmente saber se (para algum \(n\)) há ou não possibilidade de empate, poderá fazê-lo noutra página. Encontrará lá uma resposta justificada à questão da (im)possibilidade de empate. Essa justificação da resposta é de facto uma demonstração de um resultado que tem consequências importantes em Matemática. Se não tem uma formação matemática, não se assuste com o termo "demonstração". Este é um exemplo importante em que é possível tornar acessível a uma pessoa leiga, uma ideia correcta e completa de uma demonstração. Se ficou curioso, avance para aqui.


Traduzido para inglês por Samuel Lopes, a partir da versão original portuguesa. O Atractor agradece a sua colaboração.