Sucessões de polígonos

1º exemplo (bissecção)

Neste caso, e $\alpha _{j}=0$ para n > 1, pelo que a matriz A tem exactamente n valores próprios complexos distintos, dados por

MATH

para todo $t\in \{0,...,n-1\}$ , sendo $\omega$ uma raiz primitiva de ordem n da unidade. Logo, vem

MATH

Assim, se n é ímpar, os valores próprios são todos não nulos, pelo que o determinante da matriz A é não nulo e existe uma bijecção entre os pontos iniciais e os pontos determinados pelo processo de bissecção. Se n é par, então $\lambda _{n/2}=0$ e o determinante de A é 0, pelo a correspondência entre os pontos iniciais e os pontos determinados pelo processo de bissecção não é bijectiva.

2º exemplo (trissecção)

Neste caso, , e $\alpha _{j}=0$ para j > 1, pelo que a matriz A tem exactamente n valores próprios complexos distintos, dados por

MATH

para todo $t\in \{0,...,n-1\}$ , sendo $\omega$ uma raiz primitiva de ordem n da unidade. Logo, vem

MATH

sendo esta uma equação impossível para $t\in \{0,...,n-1\}$ . Portanto, os valores próprios são todos não nulos, pelo que o determinante da matriz A é não nulo e a correspondência entre os pontos iniciais e os pontos determinados pelo processo de trissecção é bijectiva.

3º exemplo

Neste caso, dado algum valor de p entre 0 e 1, $\alpha _{0}=1-p$ , $\alpha _{1}=p$ e $\alpha _{j}=0$ para j > 1, pelo que a matriz A tem exactamente n valores próprios complexos distintos, dados por

MATH

para todo $t\in \{0,...,n-1\}$ , sendo $\omega$ uma raiz primitiva de ordem n da unidade. Logo, vem

MATH

sendo esta uma equação impossível para $t\in \{0,...,n-1\}$ se , ou seja, se $p\neq \frac{1}{2}$ (se $p=\frac{1}{2}$ , então temos e $\alpha _{j}=0$ para j > 1, o que já foi analisado no primeiro exemplo). Se $p\neq \frac{1}{2}$ , então os valores próprios são todos não nulos, pelo que o determinante da matriz A é não nulo (de facto, prova-se que o determinante de A é $(1-p)^{n}-(-p)^{n}$ ) e a correspondência entre os pontos iniciais e os pontos determinados por este processo é bijectiva. Note-se que, se $p=\frac{2}{3}$ , então temos , e $\alpha _{j}=0$ para j > 1, o que já tinha sido analisado no segundo exemplo.

4º exemplo

Neste caso, e $\alpha _{j}=0$ para $j\neq 1,n-1$ , pelo que a matriz A tem n valores próprios complexos (não necessariamente distintos), dados por

MATH

para todo $t\in \{0,...,n-1\}$ , sendo $\omega$ uma raiz primitiva de ordem n da unidade. Logo, vem

MATH

Portanto, se n não é múltiplo de 4, os valores próprios são todos não nulos, pelo que o determinante da matriz A é não nulo e existe uma bijecção entre os pontos iniciais e os pontos determinados por este processo. Se n é múltiplo de 4, então $\lambda _{n/4}=0$ e o determinante de A é 0, pelo que a correspondência entre os pontos iniciais e os pontos determinados por este processo não é bijectiva.

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