Sucessões de polígonos

Generalização

Notemos que, em todos os processos de construção considerados anteriormente, a partir de um polígono inicial de n lados cujas abcissas dos vértices são x_j, com , obtivémos um novo polígono de n lados cujas abcissas dos vértices são dadas, para certos valores fixos , por

Vejamos alguns exemplos:

1. Se e $\alpha _{j}=0$ para j > 1, então temos , onde x_n= x₀.

2. Se , e $\alpha _{j}=0$ para j > 1, então temos , onde x_n= x₀.

3. Se, para algum p entre 0 e 1, $\alpha _{0}=1-p$ , $\alpha _{1}=p$ e $\alpha _{j}=0$ para j > 1, então temos , onde x_n = x₀.

4. Se e $\alpha _{j}=0$ para $j\neq 1,n-1$ , então temos , onde x_n = x₀ e x_-₁= x_n-1.

Assim, dado , temos

MATH

onde para todo .

Se considerarmos, para cada inteiro positivo k, MATH , então vem

MATH

onde MATH e MATH .

Equivalentemente, temos

MATH

Deste modo, recorrendo a conhecimentos de Álgebra Linear, podemos tirar conclusões sobre as sucessões de polígonos que temos vindo a considerar. De facto, demonstra-se que a matriz A tem n valores próprios complexos (não necessariamente distintos), dados por

MATH

para todo , sendo $\omega$ uma raiz primitiva de ordem n da unidade. Para saber mais, consulte este documento (em formato PDF).

De que forma podemos aplicar o que vimos aos exemplos dados anteriormente?

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