AS ÓRBITAS ANDAM À VOLTA
A ideia transmitida pelo campo de vectores de que as órbita andam à volta do ponto de equilíbrio é verdadeira. Para o mostrar consideramos uma destas órbitas que se inicie, por exemplo, na região I, isto é, que x(0)>C/D e y(0)>A/B. Comecemos por verificar que essa órbita entra na região II.
Analisemos a primeira equação do sistema, x' = Ax – Bxy = (A – By)x; como x se mantem positvo daqui resulta que
| Integrando entre 0 e t, obtemos |  |
. |
Ora, na região I, y é crescente, logo, y(s)>y(0) enquanto a órbita se mantiver na região I. E, portanto, temos A – By(s) < A – By(0). Como A – By(0) é constante negativo, pois y(0)>A/B, digamos A – By(0) = –k (com k>0), então
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x(t)
< x(0)e–kt |
Portanto, para todo o instante t em que a órbita se mantém na região I, temos:
Deste modo, podemos garantir que o intervalo de tempo em que a órbita se mantém em I é limitado, digamos [0,TMAX ) com TMAX finito (menor que T* como na figura), porque a função estritamente decrescente x(0)e–kt se aproxima arbitrariamente de 0 se t tomar valores suficientemente grandes, o que garante a existência de T*. |
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Desenvolvendo um raciocínio análogo, partindo da segunda equação do sistema obtemos
onde
k' =
–C + Dx(0);
e, como t<TMAX
, |
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Conjugando estas informações sobre as duas funções, concluímos que, enquanto a órbita se mantém na região I, permanece no rectângulo
Deste modo,
o intervalo de tempo para o qual (x(t),y(t))
está definido é [0,+
)
e, portanto, a órbita continua para além do valor TMAX
, não terminando, por isso, na região I.
Logo, por continuidade e tendo em conta a monotonia das funções
x e y,
o prolongamento da órbita entra em II.
O procedimento para as outras regiões é análogo. Conclusão: as órbitas próximas de (C/D,A/B) andam à volta do ponto de equilíbrio.
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