AS ÓRBITAS SÃO FECHADAS

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O nosso sistema não é resolúvel explicitamente, ou seja, não conseguimos determinar as funções x e y de t. No entanto, uma análise qualitativa fornece informação suficiente sobre as órbitas (x,y) que nos permite concluir que são fechadas. O segredo está na expressão simples da inclinação dos vectores do campo V, como função do ponto (x,y) dada por

no complementar de y=A/B (onde os vectores do campo são verticais) e x=0 (que biologicamente não interessa, pois estamos a supor que há fanecas). Esta é uma equação diferencial separável; comecemos por resolvê-la:

	A ln y – By = –C ln x + Dx + k1		k1 é constante real
	ln y A + ln x C = By + Dx + k1
	ln (y A x C) = By + Dx + k1
	y A x C = e By e Dx k		k +
			k +

Concluímos, assim, que as órbitas (x,y) estão contidas em curvas de nível da função

H:	2
	(x,y)

O próximo passo é, então, estudar esta função H. Para isso, notemos que H(x,y) = f(y) g(x) sendo

independente de x e

independente de y. Podemos, assim, escrever a equação anterior como f(y) g(x) = k, onde k é constante positiva.

Estudemos o comportamento da função f (conclusões análogas para a função g que só difere de f nas constantes C e D) :

•	f(0) = 0
•	f(y) > 0 para todo o y>0
•
•	f ' (y) = 0 y A – 1(A – By) = 0
	y = 0 ou y = A/B
•	f atinge o valor máximo absoluto Mf e apenas em y = A/B

Designemos por M_g o valor máximo absoluto de g, que é atingido apenas em x = C/D, e analisemos as soluções da equação f(y) g(x) = k.

Quando k>M_f M_g, o conjunto H ^–1({k}) é vazio.

Se k=M_f M_g, tendo em conta que os máximos são atingidos só em y = A/B e x = C/D, respectivamente, a equação f(y) g(x) = M_f M_g tem uma única solução (C/D, A/B).

Resta-nos analisar o que acontece quando k<M_f M_g. Ora, um tal k pode escrever-se como o produto M_f , para algum 0 <  < M_g . Deste modo,

f(y) g(x) = k

f(y) g(x) = Mf

f(y) =

Mf

Tendo em conta o esboço do gráfico de f , interessa distinguir os casos em que:

	•		Mf < Mf   ,	ou seja		<1   ,	ou ainda   g(x) >    ;
	•		Mf = Mf   ,	ou seja		=1   ,	ou ainda   g(x) =    ;
	•		Mf > Mf   ,	ou seja		>1   ,	ou ainda   g(x) <    .

Notemos, antes de mais, que no primeiro caso o conjunto tem dois elementos, y1 e y2 , com y1 < A/B < y2 ; no segundo caso, é um conjunto singular, reduzindo-se a {A/B} e no terceiro é vazio.

Analisemos agora a igualdade g(x) = . Ora, para 0 <  < Mg , ela tem duas soluções que designamos por xm e xM , com xm < C/D < xM . A inequação g(x) >  é equivalente a xm < x < xM ; dualmente, g(x) <  corresponde a x<xm ou x> xM .

Conjugando as informações sobre x e y em cada um dos casos, concluímos que a equação f(y) g(x) = Mf  tem soluções (x,y) sendo • xm < x < xM  e  y = y1  ou  y = y2 , com  y1 < A/B < y2 • x = xm  ou  x = xM  e  y = A/B e não tem solução para os valores de x < xm ou x > xM .

Para finalmente deduzir que a curva-solução é fechada, basta, agora, mostrar que os valores de y1 e y2 , oredenadas de x*(xm,xM), se aproximam de A/B quando x* tende para os extremos do intervalo. Ora, quando x* se aproxima de xm (ou xM), g(x*) aproxima-se de , e,

portanto,

tende para 1. Assim,  f(y1) = f(y2) =

Mf  tende para Mf , e, portanto, y1 e y2 convergem para A/B.

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