A área de um triângulo é dada por MATH. Se o triângulo é equilátero, ou seja, se todos os lados têm o mesmo comprimento $l$, então a base é $l$ e a altura é MATH, pelo que MATH. No caso do triângulo de Morley, vimos que MATH, logo MATH.

Para calcular a área do triângulo inicial, vamos utilizar a lei dos senos. Sendo $R$ o circunraio do triângulo $\left[ ABC\right] $, então os seus lados são $2R\sin a$, $2R\sin b$ e $2R\sin c$. Tomando a base como $2R\sin a$, então a altura é $2R\sin b\sin c$, pelo que MATH.

A razão entre as áreas é, portanto:

MATH

Considerando a função

MATH

restricta aos valores de $x$, $y$ e $z$ tais que $x,y,z>0$ e $x+y+z=\pi $, verifica-se, aplicando o método dos multiplicadores de Lagrange, que esta função tem um ponto crítico em $(a,b,c)$ quando $g(a)=g(b)=g(c)$, onde MATH. A função $g(x)$ definida no intervalo $]0,\pi \lbrack $ não é injectiva, mas, no entanto, é contínua e derivável e tem apenas um valor crítico, logo os pontos $a$, $b$ e $c$ não podem ser todos distintos (caso contrário, a função $g(x)$ teria pelo menos dois pontos críticos distintos, o que não acontece). Supondo, por exemplo, que $a=b$, então MATH pelo que $0<a<\frac{\pi }{2}$ e temos $g(a)=g(\pi -2a)$, sendo que o único zero da função $g(x)-g(\pi -2x)$ no intervalo $]0,\frac{\pi }{2}[$ é $\frac{\pi }{3}$.

Conclui-se assim que MATH, ou seja, o triângulo inicial é equilátero, e o valor máximo para a razão entre as áreas é:

MATH

Para calcular o máximo da razão entre os perímetros, basta notar que o perímetro do triângulo de Morley é dado por MATH, enquanto que o perímetro do triângulo inicial é MATH.

A razão entre os perímetros é, portanto:

MATH

Considerando a função

MATH

restricta aos valores de $x$, $y$ e $z$ tais que $x,y,z>0$ e $x+y+z=\pi $, verifica-se, aplicando o método dos multiplicadores de Lagrange, que esta função tem um ponto crítico em $(a,b,c)$ quando $g(a)=g(b)=g(c)$, onde MATH. A função $g(x)$ definida no intervalo $]0,\pi \lbrack $ não é injectiva, mas, no entanto, é contínua e derivável e tem apenas um valor crítico, logo os pontos $a$, $b$ e $c$ não podem ser todos distintos (caso contrário, a função $g(x)$ teria pelo menos dois pontos críticos distintos, o que não acontece). Supondo, por exemplo, que $a=b$, então MATH pelo que $0<a<\frac{\pi }{2}$ e temos $g(a)=g(\pi -2a)$, sendo que o único zero da função $g(x)-g(\pi -2x)$ no intervalo $]0,\frac{\pi }{2}[$ é $\frac{\pi }{3}$.

Conclui-se assim que MATH, ou seja, o triângulo inicial é equilátero, e o valor máximo para a razão entre os perímetros é:

MATH

Note-se que MATH é a razão de semelhança entre o triângulo de Morley e o triângulo equilátero inicial, pelo que a razão entre as suas áreas é MATH, como foi visto anteriormente.