Carros apoiados sobre eixos

Quando o carro se apoia sobre eixos e a roda não é circular, para o carro não andar aos altos e baixos, terá de se deslocar numa estrada irregular.
Pretende-se que, durante o movimento, a roda e a estrada se mantenham em contacto, que o comprimento percorrido no bordo da roda seja igual ao descrito sobre a estrada e, além disso, que o centro geométrico da roda se desloque sem oscilações.
Vamos considerar dois casos:
1º) as rodas são quadradas e, portanto, com largura não constante.
Pode provar-se [2] que a estrada correspondente a um movimento suave para tais rodas é feita de arcos de catenária invertidos.

Nota: Nas figuras assinaladas com #, se passar o rato por cima verá um gif animado.

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2º) se as rodas tiverem a forma de um triângulo de Reuleaux e, portanto com largura constante, a estrada perfeita é do tipo indicado na figura:

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Na exposição Matemática Viva está também patente um módulo em que rodas de formatos distintos emparelham com a estrada perfeita.