PLANO – grupo fundamental

No plano, quaisquer dois caminhos com os mesmos pontos inicial e final são homotópicos. Um modo simples de imaginar as homotopias no plano é considerar os segmentos de recta que unem cada ponto do primeiro caminho a um ponto do segundo. Note-se que, no plano, isso é sempre possível! Essa família de segmentos vai ser contínua, começando com o ponto inicial (de ambos os caminhos), passando por todos os segmentos referidos e terminando com o ponto final (de ambos os caminhos).

Mais formalmente, dados dois caminhos contínuos f1 e f2 de [0,1] no plano, com f1(0)=f2(0) e f1(1)=f2(1), uma homotopia H de [0,1]x[0,1] no plano (entre f1 e f2) pode ser definida por:

H(t,x) = f1(t) + x (f2(t)–f1(t)) = (1–x) f1(t) + x f2(t)

Note-se que H é contínua, H(t,0)=f1(t), H(t,1)=f2(t), H(0,x)=f1(0)=f2(0) e H(1,x)=f1(1)=f2(1), portanto a homotopia está bem definida. Além disso, e procurando ir ao encontro da descrição acima, para cada t0 de [0,1], fixado de modo arbitrário, H(t0,x) = (1–x) f1(t0) + x f2(t0) é o segmento que une f1(t0) a f2(t0) e, em particular, H(0,x)=f1(0)=f2(0) e H(1,x)=f1(1)=f2(1).

Assim, no plano, todos os caminhos são homotópicos, havendo, portanto, apenas uma classe de homotopia. Analisando o grupo fundamental, ou seja, considerando apenas os caminhos fechados, podemos concluir que todos os caminhos são homotópicos ao caminho constante – pela sua simplicidade, o caminho constante é habitualmente tido como representante da classe (única).

Formalmente, dado um caminho fechado f de [0,1] no plano, a contracção de f num caminho constante (o ponto f(0)) pode ser definida pela homotopia H de [0,1]x[0,1] no plano tal que:

H(t,x) = f(0) + x (f(t)–f(0)) = (1–x) f(0) + x f(t)