CILINDRO – grupo fundamental

No cilindro (leia-se, na superfície cilíndrica), o tratamento das homotopias não é tão simples como no plano. Atentemos, por exemplo, no caminho fechado que dá uma volta ao cilindro. Impossibilitados de mover os pontos inicial e final, não vai ser possível contrair esse caminho a um ponto, portanto, esses dois caminhos (o arco fechado e o ponto) não são homotópicos. Esta ideia pode ser explorada intuitivamente no applet.
Tendo em conta este exemplo e após uma exploração mais generalizada do applet, o que pode concluir sobre a possibilidade de homotopia dos caminhos no cilindro?

Uma conclusão importante é que depende do “número líquido de voltas” que dá à superfície. De facto, mostra-se que essa é a única condição. Dados dois caminhos e calculado o “número líquido de voltas” (considerando os caminhos fechados obtidos, se necessário, pelo completamento com um arco que une o ponto final ao ponto inicial), existe homotopia se e só se esses números forem iguais.

Assim, no cilindro, considerando os caminhos fechados, uma classe de homotopia pode ser caracterizada por um número inteiro (n.º de voltas). Desta forma, dizemos que há uma correspondência entre o conjunto das suas classes de homotopia e o conjunto dos inteiros – o grupo fundamental do cilindro é isomorfo a .

... 
-2
-1
0
1
2
3
...

Esta correspondência também pode ser explicada no levantamento na tira do plano. Escolhido um ponto do cilindro e um dos seus levantamentos na tira, cada caminho fechado no cilindro admite um único levantamento cuja origem seja o ponto escolhido da tira. Então a classe de equivalência do caminho fechado no cilindro fica determinada pelo ponto de chegada do levantamento na tira; ponto que pode tomar uma infinidade numerável de valores, cada um determinado por um número inteiro (a sua posição à direita ou à esquerda do original).