Uma superfície conexa por caminhos pode ser caracterizada pelo facto de, dados dois quaisquer dos seus pontos, conter um caminho que os une. E, mostra-se, então, que, nas superfícies conexas por caminhos, o grupo fundamental não varia com a escolha do ponto básico (a menos de um isomorfismo).
A ideia é simples. Dados dois pontos, P e Q, de uma superfície (conexa por caminhos), consideramos um caminho g que vai de P a Q – que existe, porque a superfície é conexa por caminhos. E cada caminho f fechado com base em P compomos da seguinte forma: f Este novo caminho começa em Q, vai até P (por g-1), percorre f (regressando a P) e volta a Q (por g); ou seja, é um caminho fechado com base em Q. |
g-1.f.g.Dada, então, uma
classe de homotopia b
de caminhos que ligam P
a Q, consideramos
a aplicação 
b,
do grupo fundamental relativamente a P
no grupo fundamental relativamente a Q,
dada por b(a)=b-1.a.b,
onde a
é uma classe de homotopia de caminhos fechados com base em P
(e b(a)
é uma classe de homotopia de caminhos fechados com base em Q).
Mostra-se que esta aplicação é um isomorfismo e, portanto,
os conjuntos das classes de equivalência – grupos fundamentais
– com base em P
e em Q
são isomorfos.
Notemos, por fim, que o isomorfismo depende da escolha da classe de homotopia b e é por isso que não é um isomorfismo canónico.