Podemos melhorar o nosso modelo,
tornando-o mais geral, permitindo que a elipse geradora da concha possa não
ser vertical. Para tal vamos na mesma considerar a elipse vertical centrada
na origem E1(
,
s) e considerar as rotações em torno das seguintes
rectas:
1º caso: recta horizontal
que passa na origem e é perpendicular à elipse inicial (rotação
de ângulo 
);
2º caso: eixo OZ (rotação de ângulo 
);
3ºcaso: eixo horizontal da elipse (rotação de ângulo 
).
1º caso:
Basta fazer a "substituição"
s 
s + nas funções
seno e co-seno que aparecem na equação da elipse E1(,
s).
2º caso:
(clique na figura para abrir o applet respectivo)
Basta fazer a "substituição"
+ nas funções
seno e co-seno que aparecem na equação da elipse E1(,
s).
Portanto, as equações da elipse - centradas na origem - ficam iguais a
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. |
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|||
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ou seja, a equação da concha é dada por
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. |
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3º caso:
 =
(ze)2
(, s)
 |
|
=
(ze)2
(, s)
cos ()
|
|
= (ze)2
(, s)
sin () |
|||
Observando a figura anterior (que representa a elipse que se está a estudar vista de "perfil", bem como a sua rotação de ângulo ), tem-se
| =
(ze)2
(, s)
sin ()
|
|
=
(ze)2
(, s)
sin ()
sin (
+ ) |
|
|
= (ze)2
(, s)
sin ()
cos (
+ ) |
|||
Observando as duas figuras anteriores (onde a última representa a elipse inicial e a elipse depois da rotação), concluimos:
Em resumo, as conchas podem ser modeladas matematicamente pela função
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|||
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onde D é um parâmetro que acrescentámos para definir o sentido de enrolamento da concha (pode ser positivo, 1, ou negativo, -1).
Observação:
As funções C1(,
s) e
C2(,
s) também
são modelos matemáticos relativamente bem aproximados das conchas,
tendo a vantagem de serem mais simples mas o inconveniente de não serem
tão precisos quanto C3(,
s).
A escolha do modelo dependerá do grau de precisão com que se
pretende representar as conchas.
Para perceberes melhor o efeito que a variação dos parâmetros estudados têm na forma da concha, observa os seguintes applets.
Mas existem conchas com nódulos, espinhos e/ou estrias que não são bem representadas pelo modelo aqui indicado. Será que é possível alterar este modelo para "encaixar" este tipo de conchas?
Imagem retirada de [2]