Os 3-ciclos não-transitivos em que participa um dado D=abcdef com 1 a 6 pintas podem obter-se dos ciclos não-transitivos em que entra o dado dual E, construído pelo método anterior, usando a seguinte regra: cada dado do ciclo é transformado no seu dual, calculando-se os simétricos módulo 7 dos números de pintas em cada face; depois dois dados são trocados de posição. Exemplifiquemos com o dado D=112224. O seu dual é E=355566, e cada um só aparece num 3-ciclo não-transitivo. Aplicando o mesmo algoritmo aos outros dados que surgem no 3-ciclo único de D, e que são {111244}, {111334}, {112224} obtemos {335666}, {344666}, {355566} que precisa apenas de uma troca de posição entre o segundo e o terceiro dados para ser não-transitivo: {335666}, {355566}, {344666}. Este é o único 3-ciclo não-transitivo em que participa o dado E. Outro exemplo: O dual do dado D=111566 é E=112666. Estes são os dois dados que participam, cada um, em 1897 3-ciclos (os ciclos de D distintos dos de E). Além disso, cada um dos 3-ciclos não-transitivos de E se obtém pelo processo descrito anteriormente a partir dos 3-ciclos não-transitivos de D (e vice-versa).

Nota: Este procedimento deve generalizar-se para dados com 1 a N pintas, se tomarmos os simétricos módulo (N+1).

REFERÊNCIAS

[1] H. Steinhaus, S. Trybula, "On a paradox in applied probabilities", Bulletin of the Polish Academy of Sciences 7 (1959), 67-69.
[2] Usiskin, "Max-min probabilities in the voting paradox", Annals of Mathematical Statistics Vol. 35, 2 (1964), 857-862.