Outros processos

Vejamos outros processos de construção de novos polígonos, aplicados a um polígono inicial de \(n\) lados cujas abcissas dos vértices são \(x_i\), com \(i\in \{0,1,\ldots,n-1\}\)

Nota: o último caso, quando aplicado a quadriláteros, é bastante semelhante ao da bissecção de triângulos. Se considerarmos \(x_m=\frac{x_0+x_1+x_2+x_3}{4}\), temos \[\begin{array}{ll} x'_0= & \frac{4}{3} x_m - \frac{1}{3} x_3\\ x'_1= & \frac{4}{3} x_m - \frac{1}{3} x_0\\ x'_2= & \frac{4}{3} x_m - \frac{1}{3} x_1\\ x'_3= & \frac{4}{3} x_m - \frac{1}{3} x_2 \end{array}\] ou seja, \[\begin{array}{ll} x'_0-x_m = - \frac{1}{3} (x_3-x_m)\\ x'_1-x_m = - \frac{1}{3} (x_0-x_m)\\ x'_2-x_m = - \frac{1}{3} (x_1-x_m)\\ x'_3-x_m = - \frac{1}{3} (x_2-x_m) \end{array}\] Isto significa que os novos pontos são obtidos a partir dos anteriores através de uma homotetia de razão \(-1/3\) e de centro num ponto \(G\), cujas coordenadas são dadas pela média aritmética entre cada uma das respectivas coordenadas dos quatro vértices do quadrilátero inicial. No caso de os vértices do quadrilátero serem pontos do espaço não complanares, eles podem ser vistos como vértices de um tetraedro. Assim, este processo conduz a uma sucessão encaixada de tetraedros no espaço, todos semelhantes entre si e com um tamanho cada vez menor, uma vez que a razão de semelhança tende para zero.

Para visualizar este processo, veja este applet.