Consideremos um poliedro regular:

E se as faces forem triângulos equiláteros

Já sabemos que \(n\), o número de faces que se encontra em cada vértice, é maior ou igual a 3. Então, podemos ter:

Se \(n=3\)

Obtemos o tetraedro: em cada vértice, encontram-se três triângulos equiláteros


Se \(n=4\)

Construção: em cada vértice, encontram-se quatro triângulos equiláteros

Obtemos o octaedro


Se \(n=5\)

Construção: em cada vértice, encontram-se cinco triângulos equiláteros

Obtemos o icosaedro


Se \(n=6\)

A soma das amplitudes dos ângulos internos das faces que se encontram num dado vértice não é inferior a \(360º\), pelo que não é possível construir um poliedro regular.


Analogamente, se \(n>6\), concluímos que a soma das amplitudes dos ângulos internos é maior que \(360º\), pelo que não é possível construir um poliedro regular.



Se as faces forem quadrados

Se \(n=3\)

Obtemos o cubo: em cada vértice, encontram-se três quadrados


Se \(n=4\)

A soma das amplitudes dos ângulos internos das faces que se encontram num dado vértice não é inferior a \(360º\), pelo que não é possível construir um poliedro regular.


Analogamente, se \(n>4\), concluímos que a soma das amplitudes dos ângulos internos é maior que \(360º\), pelo que não é possível construir um poliedro regular.



Se as faces forem pentágonos

Se \(n=3\)

Construção: em cada vértice, encontram-se três pentágonos

Obtemos o dodecaedro


Num pentágono regular, os ângulos internos têm uma amplitude de \(108º\).
Se \(n=4\), concluímos que a soma das amplitudes dos ângulos internos das faces que se encontram num dado vértice é \(108º \times 3=432º\), o que é maior que \(360º\), pelo que não é possível construir um poliedro regular. E, naturalmente, o mesmo se passa se \(n>4\).



Se as faces forem hexágonos

Se \(n=3\)

Num hexágono regular, os ângulos internos têm uma amplitude de \(120º\).
A soma das amplitudes dos ângulos internos das faces que se encontram num dado vértice não é inferior a \(360º\), pelo que não é possível construir um poliedro regular.


Se \(n \geq 4\), concluímos que a soma das amplitudes dos ângulos internos é maior que \(360º\), pelo que não é possível construir um poliedro regular.



Tal como no caso anterior, se as faces forem heptágonos regulares, octógonos regulares, ..., conclui-se que a soma das amplitudes dos ângulos internos das faces que se encontram num dado vértice é superior a \(360º\), pelo que não é possível construir um poliedro regular.

Concluímos assim que só existem os cinco poliedros regulares apresentados.