Comecemos por pensar se o padrão anterior tem ou não eixos de simetria de reflexão. De facto, analisando cuidadosamente o padrão verificamos que sim:

Repare-se que podemos observar uma região mínima, limitada por três eixos de simetria, com a forma de um triângulo rectângulo isósceles, como o que se segue (por exemplo):

A esta região mínima chamamos "região fundamental"; o padrão todo resulta do que está nesta região por aplicação das diversas reflexões (e suas compostas). Por esta razão, podemos imaginar que o polígono que representa a região fundamental é uma caixa revestida internamente por espelhos. Uma caixa como esta, a qual é vulgarmente designada por caleidoscópio, funciona assim como uma "máquina de construir simetrias". De facto, colocando dentro desta um só triângulo (representado a vermelho), obtém-se um padrão.

Para além das simetrias de reflexão, podemos também considerar as simetrias de rotação presentes neste padrão. Como assim?

É de referir ainda que podemos considerar outra região fundamental, diferente da anteriormente descrita, com respeito apenas às translações que fixam o padrão.

Mas, para os mais curiosos, algumas questões se levantam neste momento:

Porque razão a região fundamental referida em cima tem a forma tão específica de um triângulo rectângulo isósceles? Será que existem padrões (gerados por reflexões) cujas regiões fundamentais têm a forma de um triângulo equilátero? E escaleno?

Para saber as respostas a estas questões clique aqui.

Depois desta abordagem matemática sobre os padrões, pode agora divertir-se um pouco aplicando os conhecimentos já adquiridos... Quer saber como?