Representações de superfícies matemáticas por modelos físicos (convenções)

Quando se representa uma superfície por um modelo físico em material (por exemplo, papel) opaco e se marca a lápis nesse modelo um ponto, ele só é visível de um dos lados do modelo (note que perto de cada ponto da folha não há nenhuma dificuldade em identificar os dois lados). É possível então marcar do outro lado um ponto com lápis de outra cor na mesma posição do modelo. É legítima a pergunta de saber se o que assim se marcou é considerado, no objecto matemático que se está a representar - a tal superfície -, como um conjunto de dois pontos distintos:

 

(Coloque o rato junto à figura ou mova-a com ele.)

Note que a questão que colocamos não está necessariamente associada à existência de uma espessura do papel - que num modelo físico nunca será nula - e tem sentido, mesmo que consigamos abstrair dessa espessura.
Antes de nos debruçarmos sobre esta questão, imaginemos dois outros tipos de modelos:
    1. o material é opaco, mas a representação de um ponto é feita por uma minúscula picadela de uma agulha afiada; o furo assim visível igualmente dos dois lados sugere neste caso que o que se está a representar não consiste de dois pontos distintos;

    2. o material é transparente e extremamente absorvente e a marcação é feita com uma minúscula gota de tinta; ela é imediatamente visível dos dois lados e a conclusão é a mesma: aquilo que se está a representar não é visto como dois pontos distintos.
Afinal, qual é o bom modelo? O que é que está «certo»? Para os matemáticos, na superfície há «naquela posição» apenas um ponto ou dois distintos?

Deste ponto de vista, são realmente os dois últimos modelos que traduzem mais fielmente o conceito de superfície: em «cada posição» não se consideram dois pontos distintos na superfície que se está a pretender representar, mas apenas um. No entanto, em outros contextos, os matemáticos são por vezes levados a considerar aquilo a que chamam um revestimento duplo da superfície e aí a encararem o que se poderia descrever como «dois pontos por cada posição»; a descrição formalmente precisa está para além do nível a que este texto está neste momento a ser escrito, mas uma ideia intuitiva pode ser obtida, imaginando a superfície toda revestida «dos dois lados» (junto a cada ponto) por uma camada de tinta (suposta sem espessura). Esse revestimento de tinta pode ser ligado (ou conexo), formado de um só bocado, como é o caso da tira de Möbius no espaço usual, que não pode ser pintada «continuamente» com duas cores; ou pode ser formado por dois bocados desligados, duas películas de cores distintas que «não se tocam», como é o caso do cilindro no espaço usual.