Não-orientabilidade da Tira de Möbius

A ideia intuitiva de orientação de uma superfície junto a um ponto é bastante simples, embora a sua tradução matemática formal seja difícil a nível elementar, pelo menos se se está a usar um conceito mais geral de superfície (dita topológica). Essencialmente, junto a cada ponto do plano podemos considerar duas orientações, que podem ser representadas por pequenos arcos com sentidos marcados por pequenas setas: sentido relogio e a oposta sentido anti-horario. Mas há um cuidado subtil a ter: a orientação junto a um ponto fica fixada por um dos dois sentidos possíveis num pequeno arco junto a esse ponto. Esse arco e esse sentido estão na superfície e a orientação da superfície, fixada junto a esse ponto pela escolha de um tal arco, não muda pelo facto de "olharmos" para a superfície e para esse arco de um ou de outro lado dela (ver as convenções sobre as representações em papel das superfícies).

Coloque o rato junto à figura

A orientação da superfície fixada pela curva a verde não depende do lado por que é olhada essa superfície.

Se deixarmos um pequeno arco-testemunha fixo e movermos o outro por qualquer forma no plano, não conseguimos regressar com a orientação trocada; no plano não há nenhum caminho que troque a orientação: os matemáticos traduzem isto dizendo que o plano é orientável. Escolhida uma orientação (das duas possíveis) junto a um ponto, podemos "transportá-la" sem ambiguidade para junto de qualquer outro ponto do plano.

No entanto, o mesmo não sucede com a Tira de Möbius; há nela caminhos que conservam a orientação e outros que a trocam: a Tira de Möbius é não-orientável. Convém entender o contexto das representações por modelos físicos das superfícies antes de aceder ao link da frase anterior.