Plano - grupo fundamental

Plano - grupo fundamental

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No plano, quaisquer dois caminhos com os mesmos pontos inicial e final são homotópicos. Um modo simples de imaginar as homotopias no plano é considerar os segmentos de recta que unem cada ponto do primeiro caminho a um ponto do segundo. Note-se que, no plano, isso é sempre possível! Essa família de segmentos vai ser contínua, começando com o ponto inicial (de ambos os caminhos), passando por todos os segmentos referidos e terminando com o ponto final (de ambos os caminhos).

Mais formalmente, dados dois caminhos contínuos \(f_{1}\) e \(f_{2}\) de \([0,1]\) no plano, com \(f_{1}(0)=f_{2}(0)\) e \(f_{1}(1)=f_{2}(1)\), uma homotopia \(H\) de \([0,1]\times[0,1]\) no plano (entre \(f_{1}\) e \(f_{2}\)) pode ser definida por: \[H(t,x)=f_{1}(t)+x(f_{2}(t)-f_{1}(t))=\\\;\;\;\;\;\;=(1-x)f_{1}(t)+xf_{2}(t)\]

Note-se que \(H\) é contínua, \(H(t,0)=f_{1}(t)\), \(H(t,1)=f_{2}(t)\), \(H(0,x)=f_{1}(0)=f_{2}(0)\) e \(H(1,x)=f_{1}(1)=f_{2}(1)\), portanto a homotopia está bem definida. Além disso, e procurando ir ao encontro da descrição acima, para cada \(t_{0}\) de \([0,1]\), fixado de modo arbitrário, \(H(t_{0},x)=(1-x)f_{1}(t_{0})+xf_{2}(t_{0})\) é o segmento que une \(f_{1}(t_{0})\) a \(f_{2}(t_{0})\) e, em particular, \(H(0,x)=f_{1}(0)=f_{2}(0)\) e \(H(1,x)=f_{1}(1)=f_{2}(1)\).

Assim, no plano, todos os caminhos são homotópicos, havendo, portanto, apenas uma classe de homotopia. Analisando o grupo fundamental, ou seja, considerando apenas os caminhos fechados, podemos concluir que todos os caminhos são homotópicos ao caminho constante - pela sua simplicidade, o caminho constante é habitualmente tido como representante da classe (única).

Formalmente, dado um caminho fechado \(f\) de\([0,1]\) no plano, a contracção de \(f\) num caminho constante (o ponto \(f(0)\)) pode ser definida pela homotopia \(H\) de \([0,1]\times[0,1]\) no plano tal que \[H(t,x)=f(0)+x(f(t)-f(0))=\\\;\;\;\;\;\;=(1-x)f(0)+xf(t)\]