Tira de Moebius - grupo fundamental

Moebius - grupo fundamental

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Na tira de Moebius o tratamento das homotopias não é tão simples como no plano. Atentemos, por exemplo, no caminho fechado que dá uma volta à tira. Impossibilitados de mover os pontos inicial e final, não vai ser possível contrair esse caminho a um ponto, portanto esses dois caminhos (o arco fechado e o ponto) não são homotópicos. Esta ideia pode ser explorada intuitivamente no applet.

Tendo em conta este exemplo e após uma exploração mais generalizada do applet, o que pode concluir sobre a possibilidade de homotopia dos caminhos na tira de Moebius?

Uma conclusão importante é que depende do "número líquido de voltas" que dá à tira. De facto, mostra-se que essa é a única condição. Dados dois caminhos e calculado o "número líquido de voltas" (considerando os caminhos fechados obtidos, se necessário, pelo completamento com um arco que une o ponto final ao ponto inicial), existe homotopia se e só se esses números forem iguais.

Assim, na tira de Moebius, considerando os caminhos fechados, uma classe de homotopia pode ser caracterizada por um número inteiro (n.º de voltas). Desta forma, dizemos que há uma correspondência entre o conjunto das suas classes de homotopia e o conjunto dos inteiros - o grupo fundamental da tira de Moebius é isomorfo a \(\mathbb{Z}\).

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Esta correspondência também pode ser explicada no levantamento na tira do plano. Escolhido um ponto da tira de Moebius e um dos seus levantamentos na tira do plano, cada caminho fechado na tira de Moebius admite um único levantamento cuja origem seja o ponto escolhido da tira do plano. Então a classe de equivalência do caminho fechado na tira de Moebius fica determinada pelo ponto de chegada do levantamento na tira do plano; ponto que pode tomar uma infinidade numerável de valores, cada um determinado por um número inteiro (a sua posição à direita ou à esquerda do original).