Introdução

Nesta página apresentam-se não só alguns poliedros conhecidos como também animações de poliedros duais.1

Para obter informação mais detalhada sobre poliedros regulares e/ou poliedros estrelados sugerimos que consulte as páginas:

Dos diferentes poliedros, quais são simultaneamente convexos e regulares?
Esses poliedros, já conhecidos na Grécia antiga, designam-se por sólidos platónicos. Existem apenas cinco sólidos platónicos - tetraedro, cubo, octaedro, icosaedro e dodecaedro.


Sólidos Platónicos

(As animações e figuras foram construídas com o Mathematica e traduzidas para Java usando applets de LiveGraphics3D.)

Uma vez conhecidos todos os poliedros regulares convexos, é natural perguntar:
Será que todos os poliedros regulares são convexos?
Johannes Kepler, em 1619, descobriu dois poliedros que são simultaneamente regulares e não convexos - o pequeno dodecaedro estrelado e o grande dodecaedro estrelado. Dois séculos mais tarde provar-se-ia que existem apenas nove poliedros nestas circunstâncias: os cinco sólidos platónicos e quatro poliedros regulares não convexos - os poliedros de Kepler-Poinsot.


Poliedros de Kepler-Poinsot

Se considerarmos um qualquer sólido platónico e «unirmos» os pontos centrais de faces adjacentes, obtemos um novo sólido platónico (observe o quadro inferior). Estes dois sólidos dizem-se duais um do outro.


Dualidade

O quadro anterior põe em evidência uma certa repartição dos 5 poliedros regulares em 3 classes: Tetraedro (dual de si próprio), Cubo e Octaedro, Dodecaedro e Icosaedro.
Considere o par - octaedro/cubo - conte o número de faces, de vértices e de arestas de cada um destes sólidos. Agora, considere o par -dodecaedro/icosaedro e repita o mesmo procedimento. Por fim, conte o número de faces e vértices do tetraedro. O que concluíu?

As animações apresentadas no quadro seguinte revelam que é possível construir o dual de um dado sólido platónico, truncando-o sucessivamente.


Quadro de Animações

No modelo constituído por um tetraedro e o seu dual (que também é um tetraedro) apresentado no quadro da dualidade, se ampliarmos o tetraedo interior de forma que as arestas dos dois tetraedros estejam à mesma distância do centro comum, obtemos um poliedro composto - a stella octangula.


Poliedro composto

Stella octangula

Clicando aqui poderá consultar um página contendo projecções centrais e paralelas de poliedros (com versões estereoscópicas).


(*) Nível de dificuldade: 2º e 3º ciclos—Secundário