Construção da Tira de Möbius e de outras superfícies

Disponha de quatro rectângulos de papel. As proporções não são importantes: pode tomar como dimensões para os lados, aproximadamente 5cm e 30cm. Escolha um dos rectângulos e cole os lados pequenos opostos: obtem um cilindro. Proceda analogamente para o segundo rectângulo, mas "torça" a tira de papel "uma vez" (i.e., meia volta) antes de colar: obtem a chamada Tira de Möbius. Proceda analogamente para os dois outros rectângulos torcendo, respectivamente, duas e três vezes antes de colar. Pode ver animações que sugerem estas construções, apoiando nas figuras correspondentes do quadro seguinte. As figuras e as animações foram construídas com o Mathematica e traduzidas para Java usando applets de LiveGraphics3D. No caso de nunca ter usado estes applets, comece por ver a ajuda correspondente em português ou o help em inglês.

n

Animações

Figuras

Animações


n

Corte
central

Corte
descentrado

Orienta-
bilidade

Tenha presente, em particular, que:

  1. um duplo "click" do rato interrompe ou recomeça a animação;
  2. o visionamento estereoscópico (da dupla imagem criada com a tecla "s") não exige óculos especiais: apenas a capacidade de "fundir" as duas imagens numa só. É mais fácil de o conseguir com imagens pequenas e próximas do que com imagens grandes e o tamanho e afastamento dependem da resolução de écrã que está a ser utilizada;
  3. na primeira coluna, está o número de vezes que se torce, antes de colar;
  4. na coluna Animações, as pequenas figuras são apontadores para animações que sugerem o correspondente processo de colagem e a terceira linha dá a dimensão dos ficheiros correspondentes a importar (além dos das "classes" de applets);
  5. na coluna Figuras, as figuras apontam para as figuras finais obtidas, com o respectivo bordo marcado;
  6. na coluna Corte central, as pequenas figuras são apontadores para animações que sugerem o corte de cada "tira" longitudinalmente segundo a circunferência central;
  7. na coluna Corte descentrado , as pequenas figuras são apontadores para animações que sugerem o corte de cada "tira" longitudinalmente, começado num ponto da tira colocado a uma distância do bordo de 1/3 da largura da tira;
  8. na coluna Orientabilidade, é posta em evidência a não-orientabilidade de algumas das superfícies.

Pinte as superfícies obtidas para disfarçar a zona de colagem. Para cada um dos seis pares de modelos obtidos, procure o que há de comum entre eles e o que há de distinto. O ideal será identificar uma propriedade, segundo a qual alguns destes modelos se possam considerar equivalentes e depois procurar identificar o que distingue esses modelos equivalentes.

Encontram-se no quadro anterior apontadores para animações que correspondem a cortar (e afastar) uma tira de Möbius no sentido longitudinal, respectivamente, segundo a circunferência central e segundo uma linha "dividindo" localmente a tira de Möbius em 3 partes de igual "altura". Aconselha-se a que se proceda na seguinte ordem:

  1. Tentar imaginar o que se obtem, em cada caso, para \(n=0\) (fácil), \(1\), \(2\), \(3\), ...;
  2. Fazer a experiência com papel e tesoura para verificar se o que se conjecturou está certo;
  3. Reconstituir com as animações o que se fez com a tesoura.