Os poliedros regulares estrelados

No quadro abaixo encontra-se um pentágono estrelado, ou pentagrama, um elemento decorativo conhecido desde a antiguidade e um símbolo místico em várias culturas. É constituído por um pentágono regular comum rodeado por cinco triângulos isósceles iguais, que se obtêm através do prolongamento dos lados do pentágono de partida, e pode ser traçado desenhando os cinco segmentos na seguinte ordem: de 1 a 2, de 2 a 3, de 3 a 4, de 4 a 5, de 5 a 1 (tal é possível, porque os triângulos têm a altura “certa”: se fossem mais baixos ou mais altos, como nos desenhos ao lado, não seria possível obter a figura desenhando apenas cinco segmentos).

O pentagrama pode ser considerado um pentágono regular: de facto, os cinco “lados” (os segmentos que traçámos) são do mesmo comprimento e os ângulos nos cinco “vértices” (os pontos que unimos ordenadamente) têm todos a mesma amplitude. Para o distinguir do pentágono regular comum, é denominado pentágono regular estrelado. Analogamente, existem polígonos regulares estrelados com sete, oito, nove, …lados (aliás, às vezes, existem de tipos diferentes; porquê?), mas não existem triângulos, quadrados ou hexágonos estrelados (porquê?). Os desenhos abaixo representam os dois tipos de heptágonos regulares estrelados e o único tipo de octógono regular estrelado.